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"El Tiempo - como
un elemento que puede ser sólido, líquido o gaseoso - tiene tres
estados. En el presente es un flujo inasible. En el futuro es
una bruma turbia. En el pasado es una sustancia sólida y vidriosa;
entonces lo llamamos historia"
Brian
Aldiss - "Galaxias como granos de arena"
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| El viaje
en el tiempo es sin duda el tema mas abordado por la ciencia ficción.
Desde H. G. Wells con "Time Machine" autores
como Tim Powers ("Las puertas de Anubis"), Fritz
Leiber ("El Gran Tiempo"), Isaac Asimov ("El
fin de la Eternidad"), Alfred Bester ("Computer
Connection"), Clifford Simak ("Un anillo alrededor
del Sol"), Dan Simmons ("Hyperion") y
muchos más han llenado página tras página con
relatos en los que las paradojas del viaje en el tiempo son el punto
principal. |
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También el cine se ha ocupado exhaustivamente
de este tema, basta con recordar "Freejack",
"Time Cop", "Terminator",
"Back to the future", "12 Monkeys",
"Star Trek IV: The Voyage Home" y "Star
Trek: First Contact" entre las últimas (sin olvidar
a la espléndida "The Navigator" de Vincent
Ward con un muy singular enfoque del viaje temporal) así como
numerosas series de televisión como la recordada "Time
Tunnel" o "Quantum Leap". Es probable
que el sueño de viajar en el tiempo y cambiar nuestro pasado para
así mejorar nuestro presente o futuro esté tan firmemente
arraigado en la mente humana que no podamos evitar volver a él
una y otra vez.
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Máquina del tiempo de la película "Time
Machine".
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Desde la llegada de
la teoría de relatividad al mundo de la ciencia, el concepto de
que el tiempo no es absoluto como se pensaba en la antigüedad
permitió que las especulaciones sobre viajes temporales adquirieran
ciertos visos de realidad. Quizás estos viajes no fueran tan imposibles
después de todo. ¿Pero, que dice la teoría de relatividad?.
Un
poco de historia
A fines del siglo XIX
los físicos pensaban que ya no quedaba nada por descubrir. Existían
teorías sólidas con las que se creía se podrían explicar todos
los aspectos de la naturaleza (1) . Los
últimos frentes de resistencia, representados por los campos eléctrico
y magnético habían caído frente a los experimentos de Faraday,
Coulomb y otros. Al fin, las ecuaciones de Maxwell (2), que planteaban
la unificación de los campos mencionados en un solo campo electromagnético
fueron recibidas como el triunfo de la mente humana.
Relatividad
El concepto de teoría
de relatividad no fue inventado por Einstein, de hecho existen
muchas teorías de este tipo y la que imperaba en esa época era
la relatividad de Galileo. Una teoría
de relatividad es simplemente una serie de ecuaciones (la "transformación")
que permiten explicar los hechos físicos desde el punto de vista
de distintos observadores en movimiento unos respecto a otros.
Es decir, si estando en reposo veo rodar una pelota por la calle,
la transformación me permite predecir como la vería si me encontrara
caminando, o viajando en un auto, o cayendo. Simplemente me dice
como vería moverse la pelota si me encontrara en cualquiera de
esas situaciones a partir de la información que tengo al observarla
estando en reposo. La relatividad planteada por Galileo es muy
sencilla, se obtiene al aplicar el sentido común y la observación.
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El Delorean de "Back to the future", una
maquina del tiempo bastante original.
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Supongamos
que usted viaja en un auto (el auto en movimiento será lo que llamamos
nuestro punto de referencia móvil) a una velocidad de 80 km/h y
otro auto pasa junto al suyo moviéndose en la misma dirección.
Un observador parado en la calle (punto de referencia fijo) dirá
que su auto se mueve a 80 km/h y el otro, digamos, a 100 km/h (por
ejemplo midiendo con un cronometro el tiempo que tardan en recorrer
100 m). ¿Como lo ve usted?, si lograra olvidar que se esta moviendo
e imaginara que se encuentra quieto, desde su punto de vista el
otro auto pasaría a su lado a una velocidad de 20 km/h (la resta
de las respectivas velocidades) mientras que el hombre parado en
la calle se estaría moviendo en dirección contraria
a usted a 80 km/h. |
| ¿Y si el otro auto
viaja en dirección contraria a 100 km/h?, es evidente que desde
su punto de vista (a una velocidad de 80 km/h) el auto parecería
viajar a una velocidad mucho mayor (exactamente a 180 km/h, suma
de las velocidades). ¿Y que pasa con el tiempo?, la transformación
de Galileo afirma que es igual desde cualquier punto de referencia
ya sea que este se mueva o no, es decir todos los relojes (en los
autos o en la calle) marcan lo mismo. Hasta aquí todo es razonable. |
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La
catástrofe
Una ley física llamada
principio de invariancia establece que todos los sistemas
inerciales (sistemas que se mueven con movimiento rectilíneo uniforme
unos respecto de otros) son equivalentes, es decir, no existe
en todo el Universo un sistema de referencia "principal"
que se pueda considerar en reposo absoluto. En otros términos
todas las leyes de la física deben ser iguales en cualquier sistema
inercial de referencia. ¿Que significa esto?. En realidad es sencillo.
Digamos que conocemos una ecuación matemática que describe el
movimiento de nuestra pelota. No importando cual sea la forma
de esta ecuación, lo que se espera es que si pretendo encontrar
otra ecuación que describa el mismo movimiento tal como lo veo
mientras estoy viajando en mi auto (a velocidad constante) aplicando
la transformación correspondiente, esta nueva ecuación debe mantener
la misma forma que la original. Las cantidades implicadas pueden
no ser las mismas, pero la estructura de la ecuación si (es decir,
si una cierta variable en la ecuación original está elevada al
cuadrado, en la ecuación transformada no puede estar elevada al
cubo, por ejemplo). El principio de invariancia es bastante mas
profundo. En realidad, lo que expresa es que no existe ningún
experimento, fenómeno físico u observación
dentro de un vehículo en movimiento rectilíneo uniforme
(respecto de algún sistema de referencia) que permita afirmar
que el vehículo se está moviendo o calcular la velocidad
absoluta de
este movimiento. Usted me dirá: "si viajo en un automóvil
y miro por una ventana veo los árboles correr hacia atrás,
entonces es obvio que me estoy moviendo". Si, es verdad,
pero lo que dice el principio de invariancia es que no existe
nada que pueda hacer dentro del vehículo (sin interacción
con el exterior) que me permita afirmar que me muevo. Piénselo
de otro modo, si se encontrara en una nave espacial el mirar hacia
afuera no lo ayudaría ya que considerando que las estrellas
se encuentran muy lejos, aunque se moviera a altas velocidades
no las vería pasar tal como a los árboles (cuando
mira los árboles mas alejados desde un auto estos parecen
moverse mas lentamente) de modo que no tendría manera de
decir si se encuentra quieto o en movimiento. Cuando uno habla
de velocidad en física siempre lo hace respecto a un sistema determinado
(por ejemplo la Tierra) pero, aunque a veces se emplee este termino,
nunca se puede hablar de sistema fijo (la Tierra también
se mueve), todas las velocidades son relativas a algún sistema,
nunca absolutas.
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| Como
antes mencioné, los físicos de fines del siglo pasado acogieron
con entusiasmo las ecuaciones de Maxwell e inmediatamente pusieron
manos a la obra para ver cual era su aspecto en otros sistemas de
referencia aplicando la absolutamente lógica transformación de Galileo.
Pero, para su consternación, descubrieron que ¡no eran invariantes!,
es decir, cambiaban al pasar de un sistema de observación inercial
a otro, dramáticamente. Dicho de otro modo, si esto resultara ser
cierto existirían experimentos que nos permitirían
conocer el estado de movimiento y velocidad absoluta de un móvil. |
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La máquina del tiempo de "12 monkeys"
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Evidentemente, algo
estaba mal. Había dos posibilidades, que fuera incorrecta la transformación
de Galileo (¡ridículo!, era completamente obvia) o que fueran
incorrectas las ecuaciones de Maxwell (¡imposible!, estaban totalmente
verificadas por la experimentación). La física había llegado a
una de sus tantas crisis, sin duda los capítulos mas emocionantes
de esta ciencia.
La
transformación de Lorentz
En 1904 un físico llamado
Lorentz decidió investigar cuales debían ser las ecuaciones correspondientes
a una transformación que mantuviera la invariancia de las ecuaciones
de Maxwell. El sistema de ecuaciones que descubrió fue llamado
(muy merecidamente, por cierto) transformación
de Lorentz.
Esta transformación
es bastante curiosa. En primer lugar la razón por la que las ecuaciones
de Maxwell no son invariantes con la transformación de Galileo
es que en ellas aparece la velocidad de la luz (que en física
comúnmente se llama c). Esta velocidad
resulta definida como el producto de dos constantes (solo por
cultura general, estas constantes son la permitividad eléctrica
y la permeabilidad magnética del vacío). De modo que la velocidad
de la luz resultaría ser una constante también. Esto choca seriamente
con lo que mencionamos antes sobre la suma de velocidades. El
observador viajando en auto debería ver a la luz moviéndose a
la misma velocidad que el que esta en reposo en la calle, y eso
para la transformación de Galileo no es posible. En la transformación
de Lorentz, en cambio, las ecuaciones son tales que c
es la misma en cualquier sistema de referencia (el hecho de que
c no cambia fue verificado experimentalmente
entre otros por Michelson y Morley en 1879).
Lorentz observó como
subproducto de sus ecuaciones que deberían ocurrir otras cosas
extrañas. Un objeto al moverse se contraería en la dirección de
su movimiento (dicho de otro modo, el auto se "acorta"
cuando se mueve). Y, lo que es peor, el tiempo no podría ser el
mismo al medirlo en un sistema en reposo que en uno en movimiento.
Las ecuaciones de Lorentz, entonces, predicen el llamado fenómeno
de dilatación del tiempo. Esto significa que para un observador
situado en un vehículo en movimiento el tiempo debería transcurrir
mas lentamente que si estuviera en reposo. Un ejemplo bastante
conocido de dilatación del tiempo es la llamada "paradoja
de los gemelos": supongamos que un tipo decide realizar un
viaje espacial en el que alcanzará altas velocidades (veremos
luego que significa "altas") mientras que su gemelo
idéntico se queda en tierra. Según la transformación de Lorentz,
si el viaje dura, medido desde la tierra, digamos 20 años, cuando
el gemelo viajero regresara (si su velocidad fue lo suficientemente
alta) encontraría a su hermano 20 años mas viejo mientras que
para el, quizás, solo pasaron meses (un interesante relato sobre
los problemas de la dilatación del tiempo es "El pusher"
de John Varley, puede encontrarlo en una recopilación de cuentos
de este autor llamada "Blue Champagne"). Otro
subproducto de las ecuaciones de Lorentz fue que c
debía ser, además de una constante universal, la velocidad máxima
posible a alcanzar. De modo que cuando decimos altas velocidades
nos referimos a velocidades cercanas a la de la luz.
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Y
llegó Einstein
En 1905 Albert Einstein
publicó su poco conocida teoría de relatividad. Digo poco conocida
por que cuando uno menciona relatividad todo el mundo piensa en
E = mc2 , cuando
ésta es solo una de las tantas ecuaciones derivadas de
la transformación de Lorentz.
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Resumiendo, la teoría de relatividad
especial (por que existe otra llamada teoría de relatividad
general que trata sobre la fuerza de gravedad) dice simplemente:
"La transformación correcta de un sistema de coordenadas
inercial a otro es la transformación de Lorentz". Ese
fue el gran salto conceptual de Einstein, la afirmación de que
la transformación de Galileo no era la correcta y que todas las
curiosas consecuencias de la transformación de Lorentz, de hecho,
debían ocurrir. Y, por supuesto, que el tiempo no era una medida
absoluta sino que cambiaba de un sistema a otro. Esta teoría fue
verificada experimentalmente muchas veces y hoy se acepta como
correcta (al menos hasta que alguien encuentre que no lo es, lo
cual no sería sorprendente en física, por eso sigue siendo
una teoría).
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¿Y
todo lo anterior?
Tal vez usted se este
haciendo la siguiente pregunta: ¿pero, que pasa con todas las
ecuaciones y teorías anteriores a Einstein que sí eran invariantes
respecto de la transformación de Galileo? ¿siguen siendo invariantes
respecto de la de Lorentz?. Buena pregunta. La respuesta es no.
Cuando surgió la teoría de relatividad de Einstein todas las teorías
anteriores debieron adaptarse para hallar una forma invariante
con la transformación que, se aceptaba, era la correcta. De manera
que para cada ecuación "preeinstein", existe un equivalente
relativista.
Aclaremos, la transformación
de Galileo se sigue usando, por que se cumple sin problemas si
las velocidades implicadas son bajas (respecto de c)
y por que es mucho mas sencilla que la de Lorentz. Es fácil ver
que para velocidades bajas las ecuaciones de la transformación
de Lorentz tienden a las de Galileo.
La
cuestión del tiempo
¿A que vino toda esta
cháchara sobre teoría de relatividad?. Una de las grandes ideas
de Einstein fue que el tiempo podía considerarse como una dimensión
"espacial" mas. Todos sabemos que vivimos en un espacio
de tres dimensiones. Por ejemplo, si quisiéramos determinar la
posición de un punto cualquiera en una habitación necesitaríamos
conocer tres coordenadas: la distancia del punto respecto de dos
paredes (no paralelas) y la altura, estas tres números nos dirían
la posición del punto sin ambigüedades. Einstein llegó a la conclusión
de que el "cuando" debía agregarse a las tres coordenadas
espaciales como una coordenada mas. De esta manera, la distancia
entre dos eventos cualesquiera no solo debería incluir la distancia
espacial en la que ocurrieron sino también la diferencia de tiempo
entre ellos. La cantidad total es el llamado "intervalo"
que es el parámetro fundamental de la relatividad y es constante
respecto a cualquier sistema de referencia.
Si el tiempo es otra
dimensión como la longitud o la altura y si podemos movernos en
cualquier dirección del espacio, ¿podríamos movernos del mismo
modo en el tiempo?.
¿Que es viajar en el
tiempo?. En cierto modo lo hacemos constantemente, pero solo hacia
el futuro. Un viaje "real" hacia el futuro seria algo
así como llegar a un tiempo significativamente posterior a aquel
en el cual vivimos sin notar el paso de los momentos intermedios.
Eso se puede hacer. Se me ocurren por lo menos tres maneras, una
podría ser la llamada "criogenia", si fuera posible
congelar a alguien para descongelarlo después, dicha persona no
registraría el paso del tiempo (ni física ni mentalmente)
y técnicamente habría "viajado" al futuro (si les recuerda
"Futurama" no los culpo). Otra es moverse a velocidades
cercanas a c (velocidades relativistas)
para que se vuelva importante el fenómeno de dilatación del tiempo,
si revemos la paradoja de los gemelos podríamos interpretarla
como que el gemelo viajero además de viajar por el espacio "viajó"
en el tiempo hasta alcanzar el futuro de su hermano. También se
produce la dilatación del tiempo si nos acercamos a intensos campos
de gravedad (teoría general de relatividad) como los creados por
agujeros negros.
Algo completamente
diferente es viajar al pasado. No creo que exista, en la actualidad,
ningún mecanismo, ni siquiera teórico para viajar al pasado.
Generalmente cuando
se quiere hablar de viajes en el tiempo con cierto aire científico
se menciona a unas exóticas partículas llamadas taquiones.
En los párrafos anteriores mencionamos que según la teoría de
relatividad especial un objeto no podría moverse a una velocidad
mayor que c. Esto se debe entre otras
cosas a los cambios que sufre la masa del objeto con la velocidad.
Si, aunque suene extraño la masa es una de las características
que cambian con el movimiento. Los físicos mencionan con frecuencia
la expresión masa en reposo para referirse al valor que
toma la masa cuando el objeto tiene velocidad cero o muy baja
(el nombre es bastante obvio), es decir lo que todos entendemos
por masa. Se puede ver a partir de las ecuaciones de la transformación
de Lorentz que una partícula cuya velocidad se aproxima a la de
la luz experimenta un aumento de masa. De hecho, la masa tiende
a infinito cuando más próxima es su velocidad a c.
Esto implica que la fuerza necesaria para provocar la aceleración
que permita a la partícula superar la velocidad de la luz tendría
que ser también infinita. De todos modos se podría considerar
la existencia de partículas que viajaran a velocidad mayor que
c pero según la transformación deberían
tener ¡masa imaginaria!. Esa es la característica principal
de un taquión.
Lo de imaginario en
este caso no tiene nada que ver con la fantasía. Los números
imaginarios son objetos muy conocidos en matemática, son un
subconjunto de los llamados números complejos. ¿Sabe usted
que es un número complejo? Bien, son números bastante extraños
que se generan a partir de definir la "raíz cuadrada de -1".
Tome su calculadora (si tiene una, si no use la de su computadora)
e intente calcular Ö-1. Verá que
aparece un mensaje de error, esto se debe a que no es posible
calcular la raíz cuadrada de un número negativo (o al menos su
resultado no es un número como lo entendemos normalmente o número
"real"). El modo en que los matemáticos resolvieron
este problema fue "inventar" una solución para Ö-1,
a este valor se lo llamó i, la unidad
imaginaria. De manera que i = Ö-1.
Números complejos son los que se forman de combinar a este i
con números reales, por ejemplo 3+ i2
es un número complejo. Aquellos números complejos de la forma
ki (con k cualquier numero real) son llamados
imaginarios. Los números complejos no representan cantidades como
los reales. Un número real puede representar la cantidad de objetos
que hay en una caja, la distancia de un lugar a otro, el tiempo
transcurrido, etc. Un número complejo es algo diferente. Los números
reales se pueden representar en una recta pero para representar
los números complejos se requiere el plano.
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"Time Tunnel" de Irwin Allen, las grandes
preguntas de mi niñez eran: ¿por que Tony y Douglas siempre
aparecían en lugares y momentos importantes en la historia
si viajaban al azar? y ¿por qué ese empeño en cambiarlo
todo?.
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¿Como sería una partícula
con masa imaginaria?. Creo que nadie lo sabe. Pero algunas características
interesantes son conocidas. Un taquión se movería siempre a mayor
velocidad que la luz, jamás tendría una velocidad menor que ésta.
Cuando a una partícula normal le entregamos energía aumenta su
velocidad, cuando lo hacemos a un taquión su velocidad disminuye.
Vimos que cuando una partícula u objeto se acerca a c,
su tiempo propio se hace mas lento (se dilata), entonces ¿los
taquiones retrocederán en el tiempo? (una idea curiosa fue planteada
cierta vez por Richard Feinman, uno de los grandes "gurúes"
de la física moderna, el decía que quizás todos los electrones
del universo fueran solo un electrón que viajaba en el tiempo...).
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Pero, ¿que problemas
causaría la existencia de viajes al pasado?. En primer lugar generaría
la aparición de paradojas. En la novela "Las Puertas
de Anubis" de Tim Powers, se relata el caso de un profesor
de literatura estudioso de la obra de cierto oscuro poeta del
siglo XIX. Este profesor viaja al pasado y luego de varias aventuras
logra encontrarse en una taberna donde el poeta debía escribir
su obra mas famosa. Pasa horas esperándolo hasta que, enojado
y sorprendido por la deserción del artista, termina escribiendo
el poema de memoria. Por fin, luego de una infructuosa búsqueda
de su poeta termina dándose cuenta de que el poeta es, en realidad,
él mismo. La pregunta es ¿quien escribió el poema?, el profesor
lo escribe de memoria y esa es la versión que se publica y que
llega a sus manos en el presente para que el la aprenda. Esta
clase de problema circular (¿de donde sale la "energía creativa"?)
es una de las paradojas que se pueden dar en el viaje al pasado.
"De pronto se le
ocurrió una idea. «Dios mío - pensó-, entonces si me quedo aquí
y vivo una vida como Ashbless (y parece bastante claro que eso
es lo que me tiene reservado el universo)... entonces nadie escribió
los poemas de Ashbless. Yo los iré escribiendo, tal y como los
recuerdo por haberlos leído en los Poemas Reunidos de mil novecientos
treinta y dos, y lo que yo escriba irá a las revistas para crear
los Poemas Reunidos... ¡Un círculo cerrado que sale de la nada!
No soy más que un mensajero y, al mismo tiempo, soy también el
que recibe el mensaje.»"
Algo similar ocurre
en "El fin de la Eternidad", de Asimov. El
creador de la Eternidad (o al menos del campo temporal que permite
su existencia) es entrenado por la propia Eternidad y enviado
al pasado para crearla.
Otra paradoja clásica
es el caso del hombre que viaja al pasado para asesinar a uno
de sus antepasados. Si dicho antepasado, digamos su abuelo, muriera
antes de ser padre del padre del protagonista ¿dejaría este de
existir? si eso ocurre ¿quien mató al abuelo?. En términos simples
¿es posible cambiar el pasado?. Una cuestión similar a esta aparece
en "Terminator" y "Terminator II" así como
en los caóticos cambios de historia de "Back to the future".
Algunos científicos
creen que el problema de las paradojas se solucionaría introduciendo
el concepto de "universos paralelos". Ciertas ideas
en mecánica cuántica y física del caos implican que dada una cierta
situación cada posibilidad de resolución da lugar a una línea
de tiempo diferente o universo paralelo (algunos piensan que los
infinitos universos paralelos resultantes formarían un fractal,
para mas información sobre el tema de fractales puede leer
el artículo sobre Psicohistoria
y Caos). Por ejemplo, cierta mañana usted debe decidir
entre viajar a su trabajo en taxi o en tren. Luego de reflexionar
decide hacerlo en taxi, pero la posibilidad de hacerlo en tren
generaría otro universo en donde usted efectivamente viajaría
en tren con todos los cambios que eso implicara. Bajo esta hipótesis
al viajar al pasado y cambiar algo usted no modificaría su propio
pasado sino el pasado de un universo paralelo. Al regresar a su
propio tiempo nada habría cambiado. El libro "La llegada
de los gatos cuánticos" de Frederik Pohl se ocupa extensamente
de este tema. Otra visión interesante la aporta Alfred Bester
en el cuento "Los hombres que asesinaron a Mahoma"
donde un científico que descubre el modo de viajar por el
tiempo encuentra que cambiar el pasado termina convirtiéndolo
en un fantasma en su presente.
No se - nadie lo sabe
- si algún día será posible viajar por el tiempo, lo interesante
es que si esto es posible las fronteras entre pasado, presente
y futuro se desdibujan. Tal vez ya hay alguien del futuro entre
nosotros, tal vez alguien ya ha modificado nuestro pasado, tal
vez alguien ya ha cambiado nuestro porvenir.
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| (1) Esto no es del todo cierto, los
físicos de esa época estaban bastante preocupados por que
las mediciones de calor específico no concordaban con la
teoría clásica así como tampoco concordaba el espectro
de cuerpo negro, Maxwell en 1869 y Jeans en 1890 discutían estos
temas en sus clases y publicaciones. |
| (2) Una interesante anécdota
que dice mucho sobre la forma de pensar de los físicos. Según
se cuenta cuando Maxwell desarrolló su sistema de ecuaciones
notó que estas no eran simétricas. Como para todo
físico la estética del universo es algo esencial decidió
agregar un término que mejoraría este aspecto. Resulta
que ese término adicional (las corrientes de desplazamiento)
es lo que permitió, a posteriori, la creación y desarrollo
de las radiocomunicaciones, televisión, comunicaciones satelitales,
etc. Es curioso que aún así las ecuaciones no son
del todo simétricas. Los campos eléctricos poseen
fuentes (las cargas) pero los campos magnéticos no. Esto
hace pensar a muchos físicos en la posibilidad de existencia
de ciertas partículas bastante exóticas llamadas monopolos
magnéticos. Un imán tiene dos polos: norte y sur.
Estos son inseparables, si se corta un imán por la mitad
cada una de las partes tendrá sus correspondientes polos
norte y sur. Un monopolo en cambio solo tiene polo norte o sur.
Hasta el momento no se han detectado monopolos pero aparentemente
estos podrían ser una consecuencia de la teoría de cuerdas
(una teoría física que está siendo estudiada
desde hace unos años). |
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La teoría relativista
mas antigua es la de Galileo (o transformación de Galileo). Esta
transformación es en realidad bastante simple. Supongamos que
tenemos dos sistemas de coordenadas S y S' (figura
1). Estos sistemas pueden estar en movimiento relativo uno respecto
del otro, podría pasar que el S estuviera en reposo y el
S' moviéndose a velocidad constante respecto al S,
también es posible que ambos estén en movimiento acelerado.
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Trataremos de determinar
de que forma cambian la posición, velocidad y aceleración de un
objeto (el circulo azul), viéndolas desde ambos sistemas. Podemos
ver en la figura 1 la relación que vincula los vectores posición
del objeto respecto de los sistemas:
r = r' + R
donde r
es el vector posición del objeto respecto a S, r'
lo mismo respecto de S' y R es el vector
que marca la posición del sistema S' respecto de S.
Si derivamos la relación entre vectores respecto del tiempo y
recordamos que la derivada de la posición es la velocidad encontramos:
v = v' + V
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siendo v
la velocidad del objeto vista desde S, v'
la velocidad vista desde S' y V la velocidad
relativa entre los sistemas S y S' (podría considerarse
la velocidad de S' si S estuviera en reposo), esta
es la ecuación de suma de velocidades para la transformación
de Galileo. Aun podríamos derivar una vez mas y encontrar:
a = a' + A (1)
donde a
y a'
son las aceleraciones del objeto respecto a cada sistema
y A
es la aceleración relativa entre los sistemas. A estas tres
ecuaciones habría que agregar una mas que utilizamos en todo
el calculo sin mencionarla, esta es:
t = t'
es decir, el tiempo es el mismo en todos
los sistemas, de manera que un observador con un reloj mediría
desde S los mismos intervalos de tiempo que desde S'.
Si suponemos que los sistemas S
y S' son sistemas inerciales (o sistemas galileanos),
es decir sistemas que se mueven con movimiento rectilíneo
uniforme uno respecto al otro (esto significa que se mueven
en línea recta y a velocidad constante) resulta que la posición
de un sistema respecto del otro que habíamos llamado
R se puede escribir: R
= v t, entonces la transformación de Galileo
se resume en el siguiente sistema de ecuaciones:
donde asumimos que el sistema S'
se mueve respecto al sistema S a una velocidad constante
v
en la dirección positiva del eje x, sin perder generalidad.
Un sistema en movimiento acelerado respecto
de otro se llama "sistema no inercial". En los sistemas
no inerciales aparecen las llamadas "fuerzas inerciales"
(si, suena raro que en un sistema no inercial aparezcan fuerzas
inerciales, pero no es culpa mía, es la nomenclatura física
tradicional) como por ejemplo la fuerza centrifuga y la fuerza
de Coriolis en los sistemas rotantes (la Tierra es un ejemplo)
o mas sencillamente la fuerza hacia atrás que siente usted cuando
viaja en auto y acelera, o la fuerza hacia adelante cuando frena,
estas son fuerzas inerciales. Una fuerza inercial no es una
fuerza "real" en el sentido de que no aparece por
interacción entre cuerpos o campos sino por el movimiento relativo
de dos sistemas. Estas fuerzas "imaginarias" se utilizan
solo para simplificar el calculo y convertirlo en "newtoniano".
Si multiplicamos ambos miembros de la ecuación de las aceleraciones
(1) por la masa del objeto (llamándola m y suponiendo m = m')
y pasamos restando el termino que contiene A
queda:
ma - mA = ma'
que, recordando la tercera ley de Newton
(F
= ma) se puede escribir:
F + F* = F'
donde F
es una fuerza cualquiera aplicada al objeto y
F' es la fuerza que se observaría en el sistema en
movimiento acelerado. Podemos ver que esta última aparece
corregida por una fuerza "extraña" F*
= -mA. Esta es la llamada fuerza inercial.
Veamos un ejemplo de la transformación:
supongamos dos observadores, uno parado en la acera, en reposo
y otro viajando en automóvil a 80 km/h. El primero correspondería
a nuestro sistema S y el otro S'. ¿Como
verían estos observadores a otro auto que se mueve en la misma
dirección y sentido que S' a 100 km/h?. Si identificamos
las variables vemos que V = 80 km/h (velocidad relativa entre
sistemas), v = 100 km/h (velocidad del objeto respecto a S,
que se encuentra en reposo) resulta ser v' = v - V es decir
que v' = 100 km/h - 80 km/h = 20 km/h, esta sería la
velocidad con la que ve pasar al otro auto la persona que viaja
en el sistema S'. Ahora supongamos que el otro auto se
acerca en sentido contrario al primero a una velocidad de 100
km/h. Lo único que cambia es que en este caso v = -100 km/h
(debido a su sentido), por lo tanto v' = v - V = -100 km/h -
80 km/h = -180 km/h, es decir que el otro auto se mueve en la
dirección negativa de S' con una velocidad de 180 km/h
respecto de este sistema. Por supuesto la cosa se puede complicar
si consideramos movimientos tridimensionales (los del ejemplo
son estrictamente unidimensionales) pero estas complicaciones
no son muy serias.
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¿Por que es necesaria otra
transformación u otra teoría si la de Galileo es
tan razonable?. La respuesta se encuentra en las ecuaciones de
electrodinámica de Maxwell. Una conclusión realmente
curiosa se deriva de la teoría del electromagnetismo, esta
es: la velocidad de la luz es constante en cualquier sistema de
coordenadas. quizás esto no le suene tan extraño, probablemente
escuchó cosas así en la escuela, pero ¿está
seguro de saber lo que esta frase significa en realidad?. Veamos,
según la relatividad de Galileo si usted viaja en un auto y arroja
por la ventanilla una piedra hacia adelante un observador fijo
en tierra verá a la piedra moverse con una velocidad mayor
que aquella que usted le impartió, exactamente con la velocidad
que usted le dio mas la velocidad de su auto. Por otro lado si
usted y su auto se mueven en dirección contraria a otro
auto, verá a este moverse con una velocidad que es la suma
de las dos velocidades (como vimos en uno de los ejemplos). Con
la luz no ocurre los mismo. Usted viaja a 100 km/h y enciende
los faros, la luz que parte de ellos viaja, según usted
la ve, a 300000 km/seg. Según Galileo un observador fijo
en tierra debería medir una velocidad de la luz igual a 300000
km/seg + 100 km/h. Pero... no, el observador fijo en tierra mide
exactamente 300000 km/seg (esto ha sido verificado experimentalmente).
Si su auto se mueve hacia un rayo de luz y usted mide su velocidad
encontrará que ésta es también 300000 km/seg, no
importando a que velocidad se mueva usted. ¿Entiende mejor?
cualquiera sea el sistema de coordenadas galileano que elija,
la luz se moverá siempre a la misma velocidad (en vacío,
por supuesto, en un medio cualquiera esta velocidad puede cambiar,
pero ese es otro tema), es por eso que c es una
constante universal. Este problema es tan profundamente antiintuitivo
que desde que se verificó tomó varios años
comprender que lo que fallaba eran los fundamentos de la relatividad
de Galileo. Lorentz encontró cuales debían ser las
ecuaciones de una transformación que mantuviera la constancia
de la velocidad de la luz en cualquier sistema galileano.
Bajo
las mismas condiciones y simbolismo que en el caso de la transformación
de Galileo, la transformación de Lorentz se puede resumir
en el siguiente sistema de ecuaciones:
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(1)
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| Donde otra vez suponemos que el sistema
S' se mueve a velocidad constante v respecto del sistema
S en la dirección del eje x. Como podemos observar
la transformación de Lorentz no es tan simple como la transformación
de Galileo. Aparece en el denominador una expresión extraña
que contiene a c, la velocidad de la luz. Además
existe también una ecuación para transformar el tiempo, es
decir que un intervalo de tiempo en el sistema S no será
igual en el S'. Para velocidades pequeñas respecto
a la de la luz el termino v/c es también pequeño
de manera que la raíz toma un valor muy próximo a 1, con
lo que recuperamos la transformación de Galileo, es por eso
que en la vida diaria esta transformación parece cumplirse
sin problemas (las diferencias no son perceptibles). Los problemas
surgen cuando el sistema S' se mueve a velocidades cercanas
a la de la luz. Por ejemplo: supongamos que nos encontramos en la
Tierra (nuestro sistema S, suponiendo a la Tierra inmóvil)
y una nave espacial parte hacia el espacio a una velocidad de, digamos
el 95% de la velocidad de la luz. Es decir que v = 0.95 c.
Dentro de la nave viaja un reloj (puede ser cualquier tipo de reloj
esto no cambia el problema) y digamos que uno de sus pasajeros observa
el paso de diez minutos (figura 1). ¿Cuanto tiempo vería
pasar un observador en la tierra?. |
| El intervalo de tiempo medido
por el pasajero podemos llamarlo Dt'
= t'2 - t'1 = 10 minutos,
donde t'2 y t'1 son
dos instantes cualesquiera donde el pasajero comenzó y terminó
su medición del tiempo. Utilizando la expresión para
t' de la transformación de Lorentz podemos calcular el valor
del mismo intervalo de tiempo visto desde la Tierra. Los instantes
equivalentes vistos desde la Tierra serían t1
y t2 y el intervalo de tiempo entre ambos
es Dt = t2 - t1.
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| Pero
debemos tener en cuenta que la nave se mueve de manera que desde
la Tierra la observación de los dos instantes ocurre en posiciones
distintas x1 y x2
, respectivamente, entonces obtendremos: |
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(2)
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| Ahora bien, la nave viaja a
velocidad constante v entonces la distancia que recorrerá
en el intervalo de tiempo es Dx = v
Dt. De modo que la ecuación (2) se convierte en |
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(3) |
| y esta es la ecuación
a la que queríamos llegar. Sabemos que Dt'
= 10 minutos, si la velocidad de la nave es v = 0.95 c entonces
la raíz vale 0.312 aproximadamente, es fácil despejar Dt
que resulta ser 32 minutos. Este es el llamado fenómeno de
dilatación del tiempo. Para velocidades mas cercanas a la
de la luz esta dilatación es aún mayor (recordemos
la paradoja de los gemelos). Debemos tener en cuenta que ese es
el intervalo que vería pasar el observador terrestre si de algún
modo pudiera tener acceso a la nave desde su puesto, en la nave
misma no percibirían ningún cambio en su tiempo propio, solo
notarían los cambios al volver. ¿Que pasa con las distancias?.
Podemos hacer el mismo cálculo con la primera ecuación
de la transformación. Supongamos que en la misma nave espacial
alguien lleva una vara de 1 metro de longitud. Llamaremos a esta
longitud Dx' = x'2
- x'1 = 1 m, donde estas son las posiciones
de los extremos de la vara en un mismo instante de la nave. Estamos
suponiendo además que la vara está colocada en forma
paralela a la dirección de movimiento de la nave (si fuera
perpendicular no habría variación de longitud). Un observador
en la Tierra medirá un valor Dx
= x2 - x1 pero en este
caso en tiempos diferentes t1 y t2
ya que la nave se mueve respecto de la Tierra. En este caso la primera
ecuación de (1) da |
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(4)
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| Debido a que el intervalo de
tiempo en la nave es Dt' = 0, utilizando
la ecuación (2) podemos hallar el valor de Dt
que es |
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(5) |
| entonces (4) se transforma
en |
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(6)
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| esta vez podemos despejar Dx
de (6) y conociendo todas las otras variables calcular su valor
que es Dx = 3.2 m, y esta es la famosa
contracción de la longitud relativista. Pareciera ser el
mismo resultado que en el caso del tiempo, ¿por que en el
primer caso hablamos de dilatación y en el segundo de contracción?.
Bien, ocurre que en el caso del tiempo todo se produce como si este
tardara mas en transcurrir en la nave en movimiento que en el planeta
(dilatación) mientras que el segundo podría entenderse como
si una vara de 3.2 m en la Tierra pasara a medir una longitud mas
corta de 1 m en la nave. |
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- Mensaje de Conde Boris: Estoy de acuerdo con el
comentario que haces de pasada al principio del artículo
sobre los viajes hacia atrás en el tiempo. Creo que son
imposibles y no por razones tecnológicas (aunque siempre
hay que dejar una puerta abierta a la esperanza). Solamente
quería aportar un par de argumentos más en contra
de tal posibilidad: 1- Supongamos que es posible viajar al pasado
y dentro de x años, alguien construye una máquina
del tiempo. Desde el momento en que se construye esa máquina,
empezarán a producirse viajes al pasado. Conocida la
tecnología se construirán más y más
máquinas y habrá más y más viajes
(turísticos, científicos, etc...) ¿Cuánto
tiempo se estarán realizando estos viajes? ¿mientras
dure la humanidad o dejen de interesar? ¿mil o dos mil
años -por decir algo-? Si es así, deberíamos
estar invadidos por millones de personas del futuro (nosotros
y nuestra historia) pero parece que se esconden bastante bien.
2- Ya que el único intento de dar un soporte verosímil
al asunto es el árbol de Universos Paralelos, una pequeña
cuestión que me hace dudar mucho de él: para que
el árbol dé cobertura a todas las posibilidades,
debe tratarse de una cantidad infinita de universos. Normalmente
la gente piensa en ello como "¿me tomo una cerveza
o un vaso de vino? ¡ya hay dos universos paralelos!".
Pero en realidad la cosa sería así: desde el mismo
momento del Big-Bang, para cada fluctuación cuántica
de cada una de las "nosecuantillones" de partículas
subatómicas existentes debería surgir uno de esos
universos paralelos, proceso que crecería exponencialmente
y con exponente infinito. Me duele la cabeza sólo de
intentar imaginar una mínima aproximación de lo
que sería algo semejante. Significaría repetir
el Universo infinitas veces, por tanto, infinita materia, infinita
energía... al decir esto se me ocurre que si pudiera
existir comunicación e interacción entre los diversos
Universos, la velocidad de la luz no sería ya un límite,
pues sería posible conseguir energía infinita
para aplicarla a un cuerpo (bastaría tomar un poco de
energía de infinitos universos)... Pero ¿qué rayos
quiere decir todo esto? Cuando abrimos la "caja del infinito"
las cosas se nos van de las manos ¿Por qué? porque
el valor infinito no existe físicamente en ninguna forma.
Pienso (y esto es sólo una opinión personal) que
el valor infinito es un concepto matemático totalmente
artificial que tiene que ver más con nuestras neuronas
que con el mundo real. Si te paras a pensar resulta hasta infantil:
"es tan grande, tan grande, que nada puede ser mayor...".
Ni siquiera el tiempo puede ser infinito, pues, por un extremo
-el origen-, parece estar acotado por el Big-Bang, pero por
el otro, aunque no tuviera final, seguiría transcurriendo
y creciendo la cantidad de horas, minutos, etc... pero no podría
ser nunca "infinito" porque, por mucho que creciera,
nunca alcanzaría tal valor, ya que ese valor es inalcanzable.
Perdona por el pedazo de "testamento" que te he soltado,
pero ocurre que como escritor aficionado de Ci-Fi y amante de
la divulgación científica paso mucho tiempo meditando
y filosofando sobre estos temas y la verdad es que hay tan poca
gente alrededor con quien poder hablar sobre estas cosas...
Te mando un link a mi página aunque todavía está
en construcción: http://webs.ono.com/condeboris
- Respuesta: Observando la naturaleza humana solo puedo
estar de acuerdo con tu primera razón para la inexistencia
de viajes en el tiempo. Si en el futuro no cambiamos mucho (cosa
que es muy probable considerando el poco cambio que ha habido
en los últimos 10000 años) sería difícil
que visitantes de nuestro futuro no se dieran a conocer o pretendieran
cambiar algo u obtener algún tipo de beneficio de su
pasado. Es interesante que el mismo argumento es utilizado por
ufólogos para afirmar que los ovnis son maquinas del tiempo
de nuestro futuro. Acerca de tu idea sobre los Universos Paralelos
debo decir que es correcta. En principio y de ser realmente
posible esto, cualquier fluctuación cuántica generaría
un nuevo universo. Hay quienes creen que la estructura de este
conjunto de universos seria de tipo fractal, en este caso el
concepto de infinito estaría vinculado con el crecimiento continuo
del objeto. ¿De donde saldría la energía?, o mas
sencillamente ¿De donde salió la energía
para crear nuestro universo?. Según algunas teorías
la suma total de energía en nuestro universo es... 0.
¿Que significa esto? significa que todo se inicia a partir
de fluctuaciones, es decir de la llamada energía del
punto cero o energía del vacío, que es la mínima
energía (proporcional a la constante de Planck) que puede
alcanzar un sistema cualquiera en su estado mas bajo. quizás
todo lo que existe consista solo de pliegues y arrugas de un
espacio vacío (idea algo deprimente diría yo...). Por
otro lado también se investiga la posibilidad futura de utilizar
esta energía del punto cero de algún modo. Respecto del
infinito, si, es un concepto matemático. En física,
mas concretamente, se considera en el infinito cualquier fenómeno
que este fuera del alcance de los instrumentos. Una vez se me
ocurrió que la manera mas cercana de ver el infinito
sería situarse entre dos espejos paralelos pues según
la óptica se generarían infinitas imágenes, luego
me di cuenta del pequeño problema de la velocidad de
la luz. En realidad se generan nuevas imágenes constantemente.
Si ni siquiera el universo es infinito ¿podría existir
la idea de infinito?¿no será infinito simplemente
el constante crecimiento?.
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- The
Time Machine Page: Modelos de máquinas del tiempo
con buenas reconstrucciones gráficas. http://www.snowcrest.net/fox/time.html
- Special
Relativity: Explicaciones muy completas
y accesibles sobre la teoría de relatividad especial.
http://casa.colorado.edu/~ajsh/sr/sr.shtml
- Time
Travel: Artículos y entrevistas a científicos
sobre viajes en el tiempo, un sitio muy interesante. http://www.pbs.org/wgbh/nova/time/
- Einstein
Albert. 1920. Relativity The Special and General Theory:
Excelente sitio sobre teorías de relatividad, quizas
no apto para principiantes ya que contiene explicaciones de
un nivel tecnico algo elevado pero vale la pena visitarlo. http://www.bartleby.com/173/
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- Las
puertas de Anubis, Tim Powers
- Hyperion,
Dan Simmons
- La
caída de Hyperion, Dan Simmons
- El
fin de la Eternidad, Isaak Asimov
- El
Gran Tiempo, Fritz Leiber
- Cronicas
del Gran Tiempo, Fritz Leiber
- Computer
Connection, Alfred Bester
- Un
anillo alrededor del Sol, Clifford Simak
- La
máquina del tiempo, H. G. Wells
- Blue
Champagne, John Varley
- La
llegada de los gatos cuanticos, Frederick Phol
- Los
hombres que asesinaron a Mahoma, Alfred Bester
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