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¿Que es una esfera de Dyson?, imagine un objeto tan inmenso que es capaz de contener al Sol en su interior y aun así queda espacio para colocar, si lo desea, millones de soles mas. Esta maravilla fue propuesta por el físico estadounidense Freeman Dyson en 1959 en "Search for Artificial Stellar Sources of Infrared Radiation" (Science) como una alternativa para el aprovechamiento total de la energía solar y una solución, vía fuerza bruta podríamos decir, del problema de la superpoblación ya sea por vivir en el interior mismo de la esfera o en una nube de planetoides en sus márgenes. También es un concepto utilizado por la ciencia ficción. Los treekis recordarán el capítulo "Relics" de "Star Trek: The Next Generation" donde la nave Enterprise (en su eterno viaje para explorar nuevos mundos y contactar civilizaciones extrañas) se topaba con un objeto de este tipo. En realidad, existen tres tipos de esferas de Dyson. El primero es simplemente una densa nube de planetoides en órbitas keplerianas alrededor del sol. Esta nube no cubriría completamente al astro pero seria relativamente sencilla de construir y aprovecharía eficazmente la energía. Además los planetoides podrían ser habitables. El segundo tipo corresponde a nuestra idea inicial, una esfera rígida cubriendo completamente al sol. El tercero requiere la construcción de velas solares, estas son enormes extensiones de membrana reflectante (su tamaño debería ser de cientos de kilómetros cuadrados) que se mantendrían estáticas y en equilibrio debido a la compensación entre la fuerza de gravedad del sol y la repulsión producida por la presión de la luz sobre las velas. |
| Se entiende que una esfera de Dyson debe ser grande, pero ¿que tan grande?. En primer lugar, su radio debería ser del orden del radio de una órbita planetaria (de un planeta que mantenga vida si es que va a servir de hogar). |
| Si partimos de la hipótesis de que la esfera es sólida o bien esta constituida por módulos que serian utilizados como hábitats, la distancia de estos al Sol debe ser tal que permita vivir cómodamente a sus inteligentes constructores. Supongamos que nuestra civilización poseyera la tecnología para construir una esfera como ésta. Evidentemente su radio debería ser igual al radio promedio de la órbita de la Tierra ya que ésta es la distancia al Sol adecuada para sustentar la vida en nuestro planeta. Debería ser, entonces, aproximadamente R = 150000000 km. Con este radio la superficie total (S = 4 p R2) sería S = 7x1016 km2. Si tenemos en cuenta que la superficie de la Tierra es de solo 1.4x108 km2, la superficie de la esfera seria ¡100000000 de veces mayor que la de la Tierra!, dicho de otro modo dispondríamos de una extensión equivalente a 100000000 de planetas del tamaño del nuestro para vivir, se acabaría cualquier problema de superpoblación imaginable. |
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| ¿Que clase de supercivilización podría crear una esfera de Dyson?. En el libro "Comunicación con inteligencias extraterrestres" de Carl Sagan se incluye una escala de civilizaciones basada en su nivel tecnológico creada por el científico ruso N. S. Kardashev, puede verse en la Tabla I. | |||||||
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Evidentemente nuestra civilización no es candidata a formar parte de esta escala todavía. Por otro lado es probable que una civilización del tipo II sea capaz de construir esferas de Dyson. En el mismo libro encontramos discusiones muy interesantes sobre las posibilidades actuales de comunicación y entendimiento con civilizaciones de este tipo. Desde que se propuso la existencia de estructuras como esta se han realizado varias búsquedas de tales objetos mediante radiotelescopios, ya que se supone que una esfera de Dyson debería emitir radiación en el rango del infrarrojo, pero no ha habido éxito hasta ahora (seria interesante encontrarse observando una estrella que en un período corto desapareciera del campo visible para convertirse en emisora infrarroja, pero es poco probable que tengamos tanta suerte). Pero, una obra de ingeniería de esta magnitud, ¿que problemas puede plantear?. En primer lugar, si consideramos una esfera del segundo tipo dentro de cuya superficie se planee vivir, el problema obvio es el de la fuerza de gravedad. ¡En el interior de la esfera no habría gravedad!, sus habitantes no podrían mantenerse sobre el suelo, flotarían dentro del objeto sin control o terminarían cayendo hacia el sol y, lo que es peor, no se podría mantener una atmósfera en su interior (vea el artículo agujero negro y tierra para obtener mas detalles sobre la fuerza de gravedad). De manera que se hace necesario contar con ciertos aparatos cuya creación es quizás mas fantástica que la de la esfera misma, me refiero a generadores de gravedad. |
| ¿Que nave en una historia de ciencia ficción, que usted recuerde, no contó con generadores de gravedad?. Si, la Discovery y la Alexei Leonov creaban gravedad artificial por medio de la fuerza centrífuga que se producía al rotar parte de sus estructuras. | ||
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Pero no es eso a lo que me refiero, en la mayoría de los casos el tema se soslaya rápidamente, sus tripulantes simplemente caminan como si lo hicieran por la tierra misma, sin que se aprecie rotación de ningún tipo. La gravedad artificial es una hipótesis necesaria en el mundo del cine de ciencia ficción ya que de otro modo se gastaría mucho dinero en los efectos especiales necesarios para simular convincentemente la falta de ella (recordemos Apollo 13) y probablemente se perdería gran parte de la acción entre tanta flotación libre. Una pregunta para entendidos: si es posible generar gravedad artificial, ¿cual es el objeto de los cinturones de seguridad en una nave espacial? o mas aun, ¿por que los tripulantes caen al piso cuando ocurren choques o desaceleraciones rápidas? alguien capaz de generar inercia artificial, ¿no podría compensar las aceleraciones y desaceleraciones hasta hacerlas imperceptibles?. | |
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Desgraciadamente no se avista en la actualidad ni siquiera teóricamente la posibilidad de crear algo como generadores de gravedad o inercia. Obviamente se podría simular gravedad mediante la rotación de la esfera, pero en ese caso solo disfrutaría de esta pseudogravedad la zona del ecuador. En otra latitud los habitantes se verían obligados a caminar incómodamente inclinados debido a que la fuerza centrifuga no es radial (Figura 2). El segundo gran problema es el de la estabilidad del objeto. La razón por la que no existe fuerza de gravedad en el interior de una esfera de Dyson proviene del Teorema de Gauss, se encuentra una explicación sencilla de este tema en uno de los links, sin embargo también se puede hacer el cálculo completo de estabilidad para esta esfera, lo interesante del caso es que ¡resulta ser inestable!. La inestabilidad de la esfera es un problema serio, ya que significa que cualquier fuerza aplicada sobre ella la descentrará respecto del sol, y obviamente, si se descentra el hemisferio mas cercano al sol recibiría un exceso de radiación mientras que el mas lejano recibiría menos, en cualquier caso esto seria mortal para sus habitantes. Además a la larga terminaría colisionando con el sol y debemos tener en cuenta que si bien la esfera es un objeto realmente inmenso, su masa total no tiene que ser necesariamente tan grande y un choque con el sol sería desastroso. De modo que el objeto debería disponer de un modo razonable para mantener su posición ante cualquier desviación (¿quizás cohetes distribuidos estratégicamente en el interior?). Por otro lado, los materiales necesarios para construirla deberían poseer una resistencia enorme, ninguna de las aleaciones conocidas hasta ahora nos serviría. Además seria necesario "desarmar" planetas completos para disponer de suficiente material para su construcción, por suerte se puede demostrar que la materia de todos los planetas del sistema solar sería suficiente para una del tamaño requerido. ¿Como se verían las cosas viviendo en el interior de una esfera de Dyson?. La curvatura de su superficie seria mucho menor que la de la Tierra, de manera que para uno de sus habitantes el paisaje luciría completamente plano. El horizonte se vería neblinoso debido a la opacidad de la atmósfera. El cielo estaría cubierto por la extensión de la esfera y mirando hacia arriba se verían probablemente solo nubes ya que los continentes y océanos del hemisferio opuesto (de existir) estarían tan lejos que no podrían distinguirse, además el sol siempre estaría en el cenit. Un problema para los habitantes seria la dificultad en las comunicaciones ya que un mensaje por radio tardaría unos 16 minutos en viajar desde un punto al opuesto de la esfera (claro, una civilización capaz de construir una cosa como esta probablemente poseería mejores modos de comunicarse). Una frase que me pareció muy buena aparece en uno de los links: "Si usted posee la tecnología necesaria para construir una esfera de Dyson ... probablemente no la necesite". ¿Quien sabe?. |
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| Un sistema físico puede encontrarse en equilibrio estable o en equilibrio inestable. Lo que caracteriza a estas situaciones es el comportamiento del sistema cuando es apartado (aunque sea muy poco) del estado de equilibrio inicial. | |
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Veamos un ejemplo. En la Figura 1, podemos ver el caso de un sistema en equilibrio inestable (con frecuencia se dice "equilibrio dinámicamente inestable") , la bola en el punto A (cima de la montaña) no experimenta ninguna fuerza y puede permanecer en su posición indefinidamente. Sin embargo si la apartamos de esta posición (no importa cuan poco) aparecerá de inmediato una fuerza (en este caso la gravedad) que la impulsará rápidamente lejos del equilibrio inicial (B), porque esta fuerza tiene la misma dirección y sentido del apartamiento original. |
| La Figura 2 ilustra la situación de un sistema en equilibrio dinámicamente estable. Nuevamente la bola que se encuentra en el fondo del pozo (A) no sufre ninguna fuerza, pero un apartamiento de esa posición hace aparecer fuerzas (gravedad en este caso) las cuales al apuntar en dirección contraria al apartamiento tienden a devolver a la bola a su posición de equilibrio inicial (fuerzas restauradoras). |
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Existe un tercer caso y es el de equilibrio cinemáticamente inestable (o "equilibrio indiferente") de la Figura 3. Otra vez la bola que representa nuestro sistema no experimenta ninguna fuerza, pero en esta oportunidad, un pequeño apartamiento tampoco hace aparecer nuevas fuerzas que la aparten o acerquen a su posición inicial, la bola quedará en el punto donde la situemos o, de aplicarse alguna fuerza externa, continuará moviéndose por inercia en la dirección de esa fuerza. |
| El modo en que se determina en que estado de equilibrio se halla un sistema es muy simple, lo apartamos de la posición original y observamos en que dirección apuntan las fuerzas que aparecen (si es que aparecen), sin embargo para sistemas complejos este sencillo método puede encerrar serias complicaciones matemáticas. | |
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El cálculo de estabilidad de una esfera de Dyson se puede encarar de dos modos. Una demostración sencilla implica usar el teorema de Gauss (del mismo modo que en campos eléctricos). El campo de gravedad de una estrella o planeta es esféricamente simétrico (despreciando los pequeños efectos de la no esfericidad perfecta del objeto y las no homogeneidades del mismo) y central por lo tanto es un campo gaussiano. El otro modo (que es el que veremos aquí) requiere plantear las ecuaciones completas del sistema. La fuerza de gravedad sobre un objeto producida por otro se calcula mediante una expresión integral mas o menos complicada, vamos a hacer varias suposiciones razonables para simplificarla. Supondremos que el sol es un punto (considerando el tamaño de la esfera es una buena aproximación que de todas maneras no afecta los cálculos) y que la esfera misma es perfecta y no tiene espesor apreciable (comparándolo con su radio este espesor es despreciable a todos los efectos). De este modo la fuerza sobre la esfera producida por el sol esta dada por la ecuación [1] |
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[1]
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| donde F es el vector fuerza, G la constante de gravedad universal (6.67x 10 -11 m3/kg seg2), M la masa del sol, r la densidad superficial de la esfera (constante si la suponemos homogénea), r' es el vector que une al sol con un punto cualquiera de la esfera (r' es su módulo) y dS es el diferencial de superficie. El signo negativo implica que la fuerza es atractiva. La integral se realiza sobre toda la superficie de la esfera. Esta fórmula es general, no importando la posición de la esfera ni la del sol. | |
| En primer lugar es evidente que si la esfera esta centrada respecto del sol la fuerza neta, por razones de simetría debe ser 0. Ahora supongamos que la esfera está descentrada (o lo que es lo mismo, que el sol no se encuentra en el centro de la esfera) como muestra la Figura 1. Asumamos que el sol está desplazado una cantidad e (arbitraria) en el sentido positivo del eje z (por simetría este caso es totalmente general). El vector radial r puede ser expresado en función del radio de la esfera (R) y los ángulos (q la colatitud y j el acimut) como r = ( R sen q cos j , R sen q sen j , R cos q ) mientras que el vector que indica la posición del sol es rs = ( 0 , 0 , e ). |
 |
| Observando la Figura 1, es evidente que el vector que apunta en la dirección de la fuerza de gravedad y une al sol con cualquier punto de la esfera es: r' = r - rs. De manera que r' será el dado por la ecuación [2]. | |
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r' = ( R sen q
cos j , R sen q sen j
, R cos q - e )
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[2]
|
| El módulo de este vector elevado al cubo es entonces | |
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r' 3 = ( R2 sen2q cos2j + R2
sen2q sen2j
+ R2 cos2q +
e2 - 2eR cos
q )3/2
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[3]
|
| que realizando algunas operaciones sencillas se convierte en | |
|
r' 3 = ( R2 + e2 - 2eR cos
q )3/2
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[4]
|
| La fuerza total sobre la esfera se puede calcular descomponiendo al vector en sus tres componentes x, y, z. Por razones de simetría los valores de las componentes Fx y Fy deben ser 0. Comprobaremos esto para Fx. La fórmula integral para esta fuerza esta dada por la ecuación [5]. | |
 |
[5]
|
| Esta integral tan imponente se puede separar para obtener | |
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[6]
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| que es 0 por que ese es el valor de la integral del cos j entre 0 y 2p (el cálculo es similar para Fy). | |
| La componente que importa entonces es z. La integral correspondiente a esta componente es | |
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[7]
|
| Como la expresión dentro de los símbolos integrales no depende de j , la integral en esta variable solo será la de dj entre 0 y 2p , de modo que su valor es 2p . La fuerza queda entonces expresada por la ecuación [8] | |
 |
[8]
|
| que se puede descomponer, distribuyendo el numerador del integrando, en las integrales | |
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[9]
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| Ambas integrales son fácilmente resolubles basta con aplicar el método de sustitución tomando como nueva variable: u = R2 + e 2 - 2e R cos q , con lo que se reducen a integrales inmediatas. El resultado de la primera es | |
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[10]
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| y el de la segunda | |
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[11]
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| resultando | |
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[12]
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| Esto demuestra que la fuerza neta sobre la esfera descentrada es 0, de modo que la esfera se encuentra en una situación de equilibrio cinematicamente inestable y cualquier fuerza externa podría moverla de su posición de equilibrio inicial, a partir de lo cual seguiría desplazándose por inercia en la dirección de dicha fuerza externa. |
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Si ya leyó la sección sobre la esfera de Dyson, probablemente ha empezado a acostumbrarse a construcciones ciclópeas. Un mundo anillo es otra de la misma especie, pero con ciertas ventajas respecto de la primera. La idea es circundar al sol con una cinta rígida del radio de una órbita planetaria, cuya cara interna (la que da al sol) se pueda emplear como hábitat. Obviamente su capacidad para captar energía solar se vería bastante reducida respecto de la esfera, por eso la idea es utilizarlo principalmente como lugar de residencia, ya que, de todos modos, la superficie total es inmensamente mayor que la de un planeta. ¿Por que un mundo anillo debería ser mas ventajoso que una esfera como hábitat?, una razón evidente es que el anillo no requiere de aparatos exóticos para poseer una "fuerza de gravedad". Basta con ponerlo a girar sobre su eje de modo que la velocidad angular proporcione una fuerza centrifuga del orden de la gravedad de, digamos, la Tierra. De este modo, sus habitantes, flora y fauna, permanecerían cómodamente pegados al suelo. Para una descripción acabada del mundo anillo les recomiendo leer la serie de libros de Larry Niven: "Ringworld", "The Ringworld Engineers" y "The Ringworld Throne" , que están, sin duda, entre las mejores series de ciencia ficción jamás escritas. Según Niven los parámetros de su mundo anillo serian los de la Tabla II. |
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Analizando estos datos es evidente que la superficie total del anillo es bastante menor que la de la esfera (aproximadamente 50 veces menor) pero aun así es 2000000 de veces mayor que la superficie de la Tierra. Además el ancho del anillo es 100 veces menor que su radio (prácticamente despreciable), es decir que es mas exactamente un anillo que una cinta. La velocidad angular necesaria para lograr una gravedad similar a la terrestre es 7.8 x 10-6 1/seg, parece muy pequeña pero corresponde a un velocidad tangencial de 1200 km/seg (esta es la velocidad a la viajaría la gente parada en la superficie del anillo). Se evita que la atmósfera escape del anillo mediante paredes en los bordes que imitan a una cordillera montañosa y que tendrían unos 1600 km de altura. ¿Cómo lograr que haya días y noches? Niven lo soluciona mediante grandes rectángulos opacos, las "pantallas de sombra", que unidas por cables orbitan por encima de la superficie del anillo. El material de construcción del anillo debe ser sin duda tan resistente como el de la esfera. En la novela este material se llama Scrith, se supone que es muy denso y con una resistencia a la tensión del orden de las fuerzas nucleares. Por supuesto, no todo es ideal, el anillo también es inestable y de hecho posee inestabilidades mas fundamentales que la esfera. Resulta ser, de hecho, dinámicamente inestable, es decir, una apartamiento del equilibrio produce fuerzas que tienden a apartarlo aun mas (si se anima vea estabilidad del mundo anillo). La solución propuesta por Niven para este problema consta de una serie de ramjet colocados en los bordes del anillo que se activarían automáticamente al producirse cualquier desequilibro. El ramjet es un sistema propuesto por Bussard hace algunos años como alternativa para la propulsión de naves espaciales interestelares. La idea es captar las partículas que existen en cualquier lugar del espacio mediante un enorme plato colector que estaría en la parte delantera del vehículo y acelerarlas con campos magnéticos para que salgan por detrás de la nave logrando de este modo el impulso buscado. En el caso del mundo anillo se utilizaría el viento solar como fuente de partículas redirigiéndolas aceleradas hacia donde fuera conveniente. ¿Será posible crear objetos como estos?. En general existen dos tipos de problemas: los de ingeniería y los teóricos. Un problema de ingeniería es aquel donde la solución no requiere cambiar las ideas existentes sino solo aplicar el ingenio. Un problema teórico, en cambio, requiere el replanteo de una teoría o la creación de una nueva para su solución. Por ejemplo crear materiales mas resistentes es un problema de ingeniería, no es en absoluto inconcebible que en cincuenta o cien años existan materiales cien o mil veces mas duros y resistentes que los que existen hoy (me extrañaría bastante que no fuera así). La tecnología para viajar por el espacio a velocidades próximas a la de la luz existe, creo que si se pusiera a trabajar a un grupo de gente ingeniosa en el tema no tardarían mucho en resolver los problemas que pudieran surgir, si esto no se hace es probablemente por motivos económicos. Pero, si planteáramos a ese mismo grupo el problema de la generación de campos gravitatorios o el de la antigravedad o como viajar a velocidades mayores que la de la luz, no hay ninguna garantía de que puedan hallar alguna solución. Esta clase de problemas hunden sus raíces en la teoría existente. Cuando hablamos de esferas de Dyson o mundos anillo tenemos que referirnos a destrucción de planetas completos, manipulación de objetos del tamaño de orbitas planetarias y otras cosas en una escala tan gigantesca que es difícil imaginar. Pero en última instancia es un problema de escala. Realmente creo que la respuesta a la pregunta que inició este párrafo es sí, creo que en el futuro (¿mil, diez mil años...?), si sobrevivimos, nuestros descendientes construirán y vivirán en esferas o anillos... o quizás construyan cosas que ni siquiera podemos imaginar hoy. |
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Los desplazamientos de un anillo sometido a una fuerza central se pueden descomponer en dos casos: desplazamiento paralelo al eje y desplazamiento sobre el plano del anillo. Analizaremos primero el desplazamiento paralelo al eje (Figura 1). Por supuesto, tendremos que hacer algunas aproximaciones para facilitar las cuentas. Consideraremos que el anillo es homogéneo y que su espesor y ancho son despreciables, es decir, lo consideraremos un anillo en el sentido matemático (esto puede sonar duro pero si vuelven a leer los parámetros de ancho, radio y espesor que están en el artículo, estas hipótesis son bastante razonables). |
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Como muestra la Figura 1, supondremos que es el sol el que se desplaza una longitud e en el sentido z positivo, para facilitar lo cálculos, pero este desplazamiento es totalmente general. Si la fuerza resultante es de signo positivo, el anillo se moverá en la misma dirección que el desplazamiento del sol, entonces será una fuerza restauradora y el equilibrio será dinámicamente estable, en cambio si la fuerza resulta ser negativa, el anillo tenderá a apartarse del sol y el equilibrio será dinámicamente inestable (por simetría difícilmente la fuerza podría ser 0). |
| Supondremos, además, que el anillo está sobre el plano xy, de esta manera el vector posición de cada punto del anillo es: | |
|
r = (R cosj
, R senj , 0)
|
[1]
|
| donde R es el radio del
anillo y j el ángulo entre el vector posición
y el eje x. El vector posición del sol es rs =
(0, 0, e), entonces será r’ = (R cosj
, R senj , -e).
La fuerza total en coordenadas cilíndricas sobre el anillo es, entonces |
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[2]
|
| siendo r la densidad lineal del anillo y M, la masa del sol. Es sencillo ver que las componentes x e y valen 0, por ejemplo la componente x es | |
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[3] |
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como todos los elementos dentro de la integral son constantes excepto j , solo queda la integral de cosj , que entre 0 y 2p vale 0. La componente importante en este caso es la z. La integral correspondiente es |
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[4]
|
| que es una integral trivial ya que todo el integrando es constante. Resulta entonces | |
 |
[5]
|
| como esta componente es
positiva el anillo se encontrará en equilibrio dinámicamente estable.
El segundo tipo de desplazamiento es el que se podría producir sobre el plano del anillo. Supongamos al sol desplazado del centro del anillo una distancia e (Figura 2). |
|
| En este caso (muy similar al de la esfera de Dyson) el vector posición de cada punto del anillo es, igual que antes |
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|
|
r = (R cosj , R senj , 0)
|
[6]
|
|
| mientras que el vector posición del sol es rs = (0, e , 0) de modo que | ||
|
r’ = (R cosj , R senj - e
, 0)
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[7]
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|
| El modulo de este vector elevado al cubo será entonces | ||
|
r’3 = (R2 cos2j + R2 sen2j + e2 - 2 e R senj )3/2 = = (R2 + e2 - 2 e R senj )3/2 |
[8]
|
|
| La componente x de la fuerza de gravedad debería valer 0 por simetría, esto es sencillo de demostrar. La integral correspondiente es | |
 |
[9]
|
| se puede verificar fácilmente,
por ejemplo mediante la sustitución u = R2 + e2
- 2 e R senj, que el valor
de esta integral es 0. Por supuesto, no hay fuerzas en la dirección
z ya que no existe apartamiento en esa dirección.
La integral que nos importa es la que define la componente y. Esta integral tiene la forma |
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[10]
|
| Esta expresión se puede separar en dos integrales simplemente distribuyendo el numerador del integrando | |
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[11]
|
| Un truco sencillo permite transformar esta expresión en | |
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[12]
|
| El pequeño inconveniente es que estas integrales no se pueden resolver en forma analítica exacta, así que las atacaremos de otro modo. En primer lugar vamos a simplificar los denominadores de los integrandos sacando R2 + e2 factor común, de modo que la expresión queda | |
 |
[13]
|
| Resolveremos las integrales
mediante un desarrollo en serie de Taylor. Tengamos en cuenta que
lo único que nos interesa saber es si el sistema es estable o no.
Para determinar eso basta con averiguar el signo de la expresión que
se encuentra entre corchetes. Si esta expresión es positiva, la fuerza
será negativa y por lo tanto el sistema será inestable (tiende a descentrar
mas al sol). Si es negativa, en cambio, la fuerza será positiva y
estaremos en presencia de una fuerza restauradora, es decir que el
sistema se encontrará en equilibrio estable.
Es fácil calcular el desarrollo en serie de Taylor del integrando de la primera integral, llamémoslo f(x), este es |
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[14]
|
| El segundo, digamos g(x), es aun mas sencillo si notamos que g(x) = 2.df(x)/dx, de modo que | |
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[15]
|
| ambas series convergen
si |x| < 1.
Ahora bien, es evidente que e < R; e es solo un pequeño apartamiento del centro (la figura esta exagerada), además |senj| < 1 de modo que el termino en el denominador de las integrales que hace las veces de x debe ser muy pequeño en todo el intervalo de integración. Bajo estas suposiciones es factible reemplazar los integrandos por sus series. De este modo los integrandos se pueden expresar (introduciendo la constante adimensional b = e / R) como |
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[16]
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| tomando | |
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| así que la fuerza será | |
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[17]
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| Por otro lado, la integral de senk j resulta | |
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| Entonces en las series solo quedarán los términos pares (k = 2 n). De manera que si resolvemos las integrales y reunimos las dos series en una, queda | |
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[18]
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| Calculamos el valor de la fuerza para los primeros 300 términos de la serie (probablemente suficientes para tener una imagen bastante buena de su comportamiento) como función de b obteniendo el gráfico que se puede ver en la Figura 3. | |
| La fuerza alcanza un valor máximo (negativo) en b @ .9326, con un modulo de F = 6.15389 (o el equivalente para los parámetros de anillo del artículo: F = 3.2x1025 Newton). Se hace positiva en b @ .9913. Este resultado no implica que el anillo una vez alcanzado ese punto invierta la dirección de su movimiento, ya que seguirá en el mismo sentido por inercia, por otro lado la fuerza cambia de signo después de que el anillo recorrió el 99 % de su radio (distancia al sol), seguramente ya no habría vida para ese entonces sobre la superficie. Conociendo la fuerza podemos calcular numéricamente el movimiento del anillo a partir de un pequeño apartamiento del equilibrio. |
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 |
Este apartamiento del equilibrio podría ser un desplazamiento (e) o una velocidad inicial. Este último caso es, quizás, el mas realista ya que es el que se presentaría si chocara un objeto (asteroide, meteoro) contra el anillo . Supondremos entonces que aparece una velocidad inicial de 10-7 m/seg (este valor fue elegido arbitrariamente para ejemplificar pero es evidentemente bastante pequeño). La velocidad que adquiere el anillo para este caso en función de la distancia al sol puede observarse en la Figura 4. Como se puede ver las velocidades implicadas son siempre bastante bajas (del orden de la decena de km/seg) y alcanzan un pico máximo en b @ .978 de 33,326 km/seg para luego disminuir ligeramente. |
| Por último a partir de la velocidad podemos determinar la posición del anillo como función del tiempo (Figura 5). Este gráfico es bastante interesante ya que implica que el anillo tardaría unos 31 años en chocar con el sol para este valor de velocidad inicial (el tiempo total es muy dependiente de la velocidad inicial, para una velocidad diez veces mas pequeña será alrededor de diez veces mayor). Sin embargo el movimiento sería enormemente lento durante los primeros 30 años (quizás los habitantes no llegarían a notar nada en este periodo) para luego salir disparado y alcanzar al sol en alrededor de un año. ¿Que clase de colisión podría provocar esta perturbación?. |  |
| Puede parecer que la velocidad elegida es muy pequeña (una diezmilésima de milímetro por segundo) pero debe tenerse en cuenta que lo que se está moviendo es una masa de unos 1027 kg. Un asteroide promedio (con una masa de 109 kg) debería chocar contra el anillo a 1000 veces la velocidad de la luz para conseguir esto. Por otro lado si el objeto choca a una velocidad de 30 km/seg (mas o menos razonable astronómicamente hablando) para llegar a los resultados calculados tendría que tener una masa de 1016 kg., es decir la masa de un asteroide de los grandes (Mathilde o Eros tienen masas de esta magnitud o mayores). Esto no es inimaginable pero el choque mismo podría destruir el anillo sin necesidad de tener que esperar 31 años para que esto ocurra. Una perturbación que implique desplazamiento del centro de masa podría ser causada por la orografía artificial o por defectos de forma en el anillo mismo, aunque es de esperar que los constructores hayan tenido estas cosas en cuenta al crearlo. |
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