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Un agujero negro es, según la teoría de relatividad general, uno de los posibles estados finales en la evolución de una estrella. Para entender como puede una estrella llegar a este estado tendremos que hablar primero sobre la fuerza de gravedad. Todo cuerpo con masa (es decir todo cuerpo material) genera un campo de gravedad a su alrededor no importando su tamaño (una mesa, una planeta, una partícula subatómica, nosotros mismos tenemos un campo de gravedad propio). La existencia de este campo provoca que otro objeto con masa que se acerque sienta su influencia como una fuerza atractiva y a su vez atraiga al cuerpo generador con una fuerza igual. La magnitud de esta fuerza es directamente proporcional a la masa, de manera que un cuerpo con el doble de masa producirá una fuerza dos veces mas grande. La gravedad es una fuerza sumamente débil, comparada con las otras fuerzas es la de menor magnitud (hasta ahora las fuerzas conocidas son cuatro: nuclear fuerte, electromagnética, nuclear débil y gravedad), sin embargo si la masa involucrada es grande (como en un planeta o estrella) se convierte en la fuerza mas importante. La gravedad siempre es atractiva. No existe (al menos hasta el momento) ninguna evidencia experimental ni teórica de la llamada "antigravedad" (o gravedad repulsiva). Otra característica importante de la gravedad es la forma en la que cambia con la distancia al centro generador. Si estoy situado en la superficie de la Tierra (como supongo lo está usted ahora) lo que llamo peso es precisamente la fuerza de gravedad que la Tierra ejerce sobre mi a la distancia de un radio terrestre del centro del planeta (el radio de la Tierra es aproximadamente 6378 km). Ahora bien, si me alejara al doble de esta distancia la fuerza de gravedad sobre mi cuerpo disminuiría cuatro veces, se dice entonces que la gravedad varía en forma inversa al cuadrado de la distancia. Supongamos que fuera posible comprimir al planeta Tierra hasta una esfera de la mitad de su diámetro actual conservando la masa. Si permaneciésemos a una distancia de 6378 km del centro (o sea el radio actual) no percibiríamos ningún cambio (la Luna, por ejemplo, continuaría orbitando alrededor de la Tierra sin darse por enterada de la diferencia de tamaño) ya que la fuerza de gravedad solo depende de la masa y la distancia al centro del planeta, y estas no habrían cambiado. Sin embargo, si nos situáramos sobre la nueva superficie la gravedad aumentaría cuatro veces. Es decir que si usted pesa ahora 70 kg, en la superficie del planeta comprimido pesaría 280 kg. Lo interesante es que si siguiéramos disminuyendo el volumen (y conservando la masa) la fuerza de gravedad sobre la superficie seguiría aumentando, la pregunta clave es ¿habrá algún límite para este aumento?. |
| Si arrojamos una pelota hacia arriba sabemos que es inevitable que vuelva a caer, por supuesto esto se debe a la atracción que ejerce la Tierra sobre la pelota. ¿A que velocidad mínima debería arrojar la pelota para que escape de la atracción de la Tierra y se pierda en el espacio?. Se puede calcular que esta velocidad debe ser de aproximadamente 11 km/seg. Esta es la llamada velocidad de escape. Es la velocidad mínima que debe tener un cohete, por ejemplo, para iniciar su viaje. En la superficie del Sol la velocidad de escape es de 617 km/seg (el Sol es mucho mas masivo que la Tierra). Volviendo al tema de la contracción de volumen del párrafo anterior, el aumento de gravedad en la superficie del planeta contraído implica también un aumento en la velocidad de escape, es decir, a cualquier objeto le resultaría mas difícil salir de la superficie. |
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| Pero en este punto nos topamos con un hecho interesante, existe una velocidad máxima que puede alcanzar un objeto material, esta es la velocidad de la luz (unos 300000 km/seg, para mayor información sobre el tema puede ver el artículo sobre Viajes en el tiempo). | ||
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¿Que pasaría si siguiéramos comprimiendo la Tierra hasta que la velocidad de escape llegara a ser igual a la velocidad de la luz?. Bien, es evidente que ningún objeto, partícula o la misma luz podría escapar del planeta ya que no hay nada (hasta ahora) que se mueva mas rápido. El planeta desaparecería de la vista, seria totalmente negro (ya que ni la luz podría escapar), cualquier cosa que cayera en el no volvería a salir. El radio en el que la velocidad de escape alcanza la de la luz se llama radio de Schwarzschild, por que fue el astrónomo alemán Karl Schwarzschild el primero en calcularlo. La Tierra alcanzaría su radio de Schwarzschild si se contrajera hasta convertirse en una esfera de 1 cm de radio (manteniendo su masa), para el Sol este radio seria de 3 km. Cualquier objeto tiene un radio de Schwarzschild que es mas pequeño cuando menor es la masa del objeto. El físico norteamericano John Archibald Wheeler llamó al objeto que alcanza este radio agujero negro (black hole) debido a que tal objeto no emite ni refleja ninguna luz. ¿Puede un objeto cualquiera alcanzar su radio de Schwarzschild?. Bueno, no cualquier objeto podría hacerlo. Por ejemplo, la Tierra conserva su forma esférica debido a que la gravedad "achata" cualquier deformación grande y está sólidamente comprimida (esto pasa con todos los objetos grandes, por eso los planetas y estrellas tienen forma esférica, los mas pequeños no tienen gravedad suficiente para evitar deformaciones, por ejemplo, las lunas de Marte, Fobos y Deimos son prácticamente dos ladrillos). Cuanto mas profundamente nos internamos dentro de la Tierra, mas cercanos están los átomos, sin embargo los átomos mismos permanecen intactos. No existe ningún motivo para que, en el futuro, la Tierra pueda verse comprimida aun más, ya que la masa de nuestro planeta no es suficiente para producir un campo de gravedad que pudiera llegar a romper la estructura atómica. Pero, ¿que pasa con objetos mas grandes, por ejemplo, estrellas?. Imaginemos una estrella como un globo lleno de gas. El globo conserva su forma y tamaño debido al equilibrio entre la presión del gas en su interior (que "empuja hacia afuera") y la presión atmosférica (que "empuja hacia adentro"), estas dos fuerzas mantienen tensa la goma de la que está hecho el globo. En el caso de una estrella hay dos fuerzas "hacia afuera": la presión del plasma (gas de partículas cargadas) del que está formada y la presión de radiación electromagnética. La fuerza "hacia adentro" es la gravedad producida por su propia masa. Si alguna de estas fuerzas de debilitara, el equilibrio se rompería produciendo el colapso. La fuerza de gravedad es directamente proporcional a la masa de la estrella (como vimos), como la masa no varía significativamente en toda su historia, esta fuerza se mantiene mas o menos constante. Sin embargo la presión del plasma y radiación no se mantienen invariantes. A principio de la década del veinte, el astrónomo inglés Arthur S. Eddington demostró que la temperatura que existe en el interior de una estrella puede ser de millones de grados. A tal temperatura los átomos se rompen, los electrones se separan y los núcleos desnudos pueden chocar unos contra otros produciendo reacciones nucleares. La energía liberada por estas reacciones es la que mantiene las presiones, pero las reacciones nucleares dependen a su vez de la cantidad de combustible disponible. El principal combustible de una estrella es el hidrógeno. Los núcleos de este elemento liberan grandes cantidades de energía cuando chocan y se fusionan creando núcleos mas pesados, por ejemplo: dos núcleos de deuterio (isótopo del hidrógeno formado por un protón y un neutrón) pueden formar un núcleo de helio (dos neutrones y dos protones) liberando energía. De modo que mientras la estrella contenga suficiente cantidad de hidrógeno la presión interna se mantendrá y conservará su tamaño original. |
| Sin embargo las existencias de hidrógeno no son eternas, poco a poco (en el transcurso de miles de millones de años) este elemento se va transformando en helio y la energía liberada (y por ende la temperatura y presión) deja de ser suficiente para contrarrestar la gravedad. Por supuesto la estrella no se apaga, las reacciones nucleares continúan transformando el helio en elementos mas pesados, pero estas reacciones son menos energéticas que las del hidrógeno, y así la gravedad empieza a ganar. Es curioso que, si bien la estrella terminará enfriándose, pasa siempre por un periodo durante el cual se calienta. A medida que el hidrógeno se va transformando en helio en el centro de la estrella, este se hace cada vez mas denso (debido a la masa creciente de helio). Al aumentar la densidad se intensifica el campo de gravedad en el centro, el cual se contrae aumentando su temperatura. Poco a poco toda la estrella se calienta y debido a esto empieza a expandirse. El aumento de temperatura además es el que produce las nuevas reacciones nucleares entre núcleos de helio y la producción de elementos mas pesados (carbono, oxigeno, etc.). La estrella comienza a expandirse aceleradamente, pero esta expansión produce una disminución de temperatura en la superficie (el calor se distribuye en un área mayor) esto hace que la estrella brille con color rojo. A una estrella así se la llama gigante roja (por ejemplo Betelgueuse y Antares están en ese estado, Figura 2). ¿Que tamaño puede alcanzar una gigante roja?, bueno, esto depende de la masa inicial, pero su radio podría ser de varios centenares de radios solares. |
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Pero esta existencia de gigante no dura por siempre. Ya dijimos que las reacciones nucleares entre elementos mas pesados son cada vez menos energéticas, por lo tanto es inevitable que en algún momento la energía no sea suficiente para mantener las presiones, entonces la gravedad gana y la estrella comienza a hundirse. ¿Cuanto tiempo tarda?, otra vez (y van...) eso depende de la masa de la estrella, lo curioso es que las mas grandes colapsan mas rápido debido a que gastan mas rápidamente su combustible y su campo de gravedad es mas intenso. Cuando una estrella se contrae aun queda hidrógeno en las capas exteriores, la contracción calienta toda la estrella así que comienzan reacciones de fusión en estas capas y la estrella brilla nuevamente. Cuanto mas masiva es la estrella mas rápida es la contracción. Una estrella pequeña se contrae suavemente pero una grande puede producir en las capas exteriores reacciones tan violentas que parte de su masa es arrojada al espacio en forma explosiva (sin embargo la contracción continúa en las capas interiores). Esta explosión es la llamada supernova. Una supernova puede arrojar al exterior hasta un 95 % de la masa total de la estrella. La energía que se libera en una explosión como ésta puede ser de tan enorme magnitud que su brillo iguale al de toda una galaxia. Desde la tierra se han observado algunas supernovas, por ejemplo la del año 1054 (que formó la nebulosa del Cangrejo), la de 1572 en Casiopea, la de 1604 en Serpens y la de 1999 en NGC 1637 (Figura 3). |
| ¿Y que pasa con las estrellas que no explotan y con las capas interiores de las supernovas?. Por supuesto, lo que ocurra depende de la masa inicial de la estrella (en resumen todo depende de la masa de la estrella). Si es del orden de la del Sol, digamos hasta un 140% de esta masa (límite de Chandrasekhar), la estrella continuará encogiéndose, los átomos comenzarán a acercarse aumentando la densidad de la materia que la forma, la disminución de volumen provocará un aumento de temperatura y presión que mantendrá a la estrella brillando durante un tiempo convertida en una enana blanca. | ||
| Una estrella así es de tamaño planetario y la fuerza de gravedad es contrarrestada por las fuerzas entre electrones (principio de exclusión de Pauli). A la larga el fuego nuclear se enfría, ya no puede irradiar luz y se convierte en una enana negra. Si la masa inicial es de hasta dos masas solares, la fuerza de gravedad será igualmente superior, tan grande que vencerá a las fuerzas entre electrones provocando que estos se fusionen con los protones de los núcleos atómicos formando neutrones, serán las fuerzas entre neutrones las que contengan esta vez a la gravedad, creando lo que se conoce como estrella de neutrones. Una estrella así es del tamaño de un asteroide (10 o 20 km de diámetro), y se piensa que los llamados pulsares (fuentes de ondas de radio que emiten con períodos muy definidos) podrían ser objetos de este tipo. Por último es posible que para una estrella de masa aun mayor ni siquiera las fuerzas entre neutrones sean suficientes para contrarrestar la gravedad. La estrella podría desaparecer por alcanzar su radio de Schwarzschild (¿quien no ha visto uno de esos dibujos animados donde una aspiradora termina aspirándose a si misma?), la densidad tendería a ser infinita y se crearía lo que técnicamente se llama una singularidad, de algún modo el espacio que la circunda se plegaría tragándosela y dejando en su lugar un agujero negro (Figura 4). El limite teórico que separa el interior del exterior del agujero negro se llama horizonte eventual (el nombre de la nave de la película homónima: "Event Horizon"). Cualquier cosa que atraviese el horizonte eventual no vuelve a salir y es incorporada a la masa del agujero negro. De manera que, en principio, la masa de un agujero negro siempre debería aumentar. |
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Alguna vez habrá escuchado que según la teoría de relatividad general la existencia de una masa cualquiera produce una curvatura en el espacio-tiempo, esta curvatura es el campo de gravedad. Esto es similar a lo que pasa al colocar una bola sobre una membrana de goma, la membrana haría las veces de espacio-tiempo el cual en realidad tiene cuatro dimensiones. Evidentemente el peso de la bola produciría una deformación que es mas grande cuanto mas pesada es la bola (es interesante especular que la "antigravedad " consistiría en levantar una porción de la membrana formando una "montaña"). Esta deformación o pozo provocaría que otros objetos sobre la membrana cambiaran de dirección o quedaran atrapados en "orbita" alrededor. Algo similar ocurre con el espacio-tiempo, solo que es inimaginable de que modo puede deformarse el espacio vacío. Es bastante mas sencillo percibir la deformación en el tiempo. Al acercarnos a un objeto masivo el paso del tiempo es mas lento, de hecho este fenómeno ocurre también en la Tierra. Podríamos decir que el tiempo pasa mas lentamente viviendo en la Tierra que en la Luna cuya masa es menor, por supuesto, esta perturbación es pequeña, aun cuando la masa de la Tierra es grande no es lo suficientemente grande para que las alteraciones en el tiempo sean fácilmente perceptibles. Sin embargo un agujero negro es formidablemente masivo. Es como si la bola del ejemplo fuera tan pesada que rompiera la membrana. Al acercarnos a un agujero negro el tiempo corre en forma mas lenta y se detiene al penetrar el horizonte eventual. Si pudiésemos seguir observando una nave luego de atravesar el horizonte eventual la veríamos "congelarse" de inmediato. Literalmente el tiempo que tardaría la nave en recorrer la pequeña distancia (normalmente unos pocos kilómetros) desde el horizonte hasta la singularidad seria infinito. Los que hayan leído la serie "Pórtico" de Frederik Pohl recordarán que el conflicto del protagonista, Robin Broadhead (por el que termina consultando a un psiquiatra cibernético, el inefable Sigfrid von Shrink) tiene que ver con este tema (comentario al margen: el titulo del segundo libro de la saga fue mal traducido al castellano, no es "Tras el incierto horizonte" sino "Mas allá del horizonte eventual", esto tiene mas sentido en el contexto). Por supuesto quienes viajaran en la nave no notarían ningún cambio en su tiempo propio. ¿Qué hay del "otro lado" de un agujero negro?. No lo sabemos, ni siquiera sabemos si existe un "otro lado". Según las últimas teorías pueden existir singularidades puntuales o agujeros negros de Schwarzschild que son los mas sencillos, a través de los cuales no se podría pasar sin morir aplastado por la extrema fuerza de gravedad. También podrían existir agujeros negros rotantes o singularidades de Einstein-Rosen, que serian unidimensionales, una suerte de anillos de densidad infinita. Lo interesante de estos últimos es que permiten la existencia de caminos que atraviesan el agujero negro sin pasar por la letal singularidad. Estos son los famosos agujeros de gusano o wormholes (¿vieron Deep Space 9?). Hace poco cayó en mis manos (gracias a mi amigo Pedro) el libro "Cosm" de Gregory Benford (el autor de "Timescape"). Es la historia de una joven física que durante un experimento con colisiones de partículas de alta energía por accidente crea un wormhole descubriendo que este la conecta con un universo paralelo. Si lee inglés se lo recomiendo, es un libro excelente (entre otras cosas describe como ninguno la vida de los físicos en universidades norteamericanas, no en vano Benford es físico en la Universidad de California, Irvine) desgraciadamente creo que no fue traducido al castellano todavía. Hay varias especulaciones similares acerca de que un wormhole podría comunicarse con otro lugar de nuestro universo consiguiendo de este modo viajar prácticamente en forma instantánea de un punto del universo a otro o aún con otro tiempo. Pero en las teorías que se manejan en la actualidad estos "caminos" parecen ser bastante inestables. El tema de los wormholes ha sido explorado bastante en la ciencia ficción de los últimos tiempos, por ejemplo en el citado "Cosm" pero también en el excelente "Hyperion" de Dan Simmons, donde se plantea la posibilidad de pasar de un lugar a otro del espacio como si se atravesara una puerta (lo que permite la construcción de casas donde cada habitación se encuentra en un planeta diferente, v.g. el gimnasio puede estar en un planeta con gravedad alta, el baño sobre una balsa en un planeta oceánico, etc., la idea es realmente muy original) y claro, no podemos olvidar "Contacto" de Carl Sagan donde la heroína es transportada por medio de un wormhole hacia un lugar distante del universo. Es curioso que tanto en "Hyperion" como en "Contacto" el aparato generador del wormhole tiene forma de dodecaedro (en el caso de "Contacto" me refiero, por supuesto, al libro, en la película el dispositivo es mas impresionante), hasta el momento no conozco el porque en C.F. parece relacionarse a este sólido con los wormholes. Los astrofísicos dicen que pueden existir agujeros negros inmensos, de millones de masas solares en el núcleo de las galaxias. También se teoriza sobre la existencia de agujeros negros microscópicos formados bajo las inconcebibles condiciones del "big bang", en los albores del universo. Estos agujeros negros microscópicos podrían tener la masa de montañas terrestres contenida en pliegues del espacio-tiempo del tamaño de átomos. Fue el físico inglés Stephen Hawking quien en 1974 sugirió su existencia. Lo interesante de esto es que, según Hawking, un miniagujero negro podría perder masa. Las pequeñas fluctuaciones de energía que se producirían en el borde de su horizonte eventual (por el principio de incertidumbre de Heisemberg) darían lugar a la formación de pares partícula-antipartícula, donde uno de los integrantes de esta pareja caería en el agujero mientras que el otro sería expulsado al exterior. Esto constituiría un flujo constante de materia que sería (visto desde afuera) emitida por el agujero negro. Si esto es cierto, un miniagujero negro podría tener poca vida. |
| ¿Como podría ser detectado un agujero negro desde la Tierra?. Se supone que de existir una pareja de estrellas (es decir una estrella doble, de las que abundan en el universo) donde una de ellas hubiera colapsado en agujero negro este absorbería constantemente materia de la estrella normal y este flujo de materia al acelerarse en dirección de la singularidad emitiría ondas electromagnéticas en la frecuencia de los rayos X (Figura 5).Entonces el método mas prometedor para detectar estos objetos es la búsqueda de fuentes de rayos X cuya existencia solo pudiera deberse a un agujero negro. En 1969 fue lanzado el satélite detector de rayos X "Uhuru". En 1974 este satélite observó una fuente poderosa de rayos X en la constelación del Cisne que fue bautizada como "Cygnus X-1". El origen de estas ondas fue localizado junto a (no en) una estrella visible. Esta estrella tiene una órbita periódica de 5 o 6 días alrededor de un compañero invisible (el emisor de rayos X) que se calcula debe tener unas ocho veces la masa de nuestro Sol. |
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| Este sistema se encuentra a 10000 años luz de la Tierra. En 1978 se descubrió un sistema similar en la constelación de Escorpión. ¿Serán estos agujeros negros?. Aun no se sabe con certeza. | ||
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Pero, ¿qué tiene que ver esto con la Tierra?. La madrugada del 30 de junio de 1908 un objeto penetró en la atmósfera terrestre proveniente del espacio. El objeto cayó en las estepas de Siberia, en una zona llamada Tunguska provocando una devastación sin precedentes hasta entonces. |
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Dentro de un área de casi 2000 kilómetros cuadrados alrededor de la explosión hubo total destrucción. Los árboles derribados y quemados formaron un patrón en forma de abanico (Figura 6). Se calcula que la explosión fue de entre 30 a 50 megatones (1000 veces mayor que la bomba de Hiroshima, con la potencia de una bomba de hidrógeno). Se produjeron extraños fenómenos magnetohidrodinámicos y perturbaciones locales en el campo magnético terrestre. El cielo nocturno tuvo un extraño color anaranjado durante varios días. En el oeste de Europa la gente podía leer sin lámparas durante la noche. La cantidad de energía liberada por el evento fue colosal. | |
| Los primeros científicos pudieron llegar a la región 19 años después, habitantes de las villas cercanas hablaban de una bola de fuego y una enorme explosión. Los científicos intentaron encontrar restos del supuesto meteorito caído, pero no encontraron nada. | ||
| Todavía no existe una explicación completa del fenómeno. La naturaleza despoblada de la zona impidió que hubiera testigos directos de la caída (por suerte para ellos). Una serie de hipótesis surgieron desde entonces. Se habló de un meteoro que estalló antes de tocar el suelo, esto no seria raro, otros han caído en la historia de la Tierra, podemos recordar el cráter de Arizona y el supuesto meteoro que, según se dice, provocó la extinción de los dinosaurios (Figura 7). Simulaciones por computadora sugieren que debió tener un diámetro de alrededor de 60 metros para no consumirse completamente en la atmósfera ni tampoco llegar a tocar el suelo. También se habló del núcleo de un cometa y de un trozo de antimateria que se aniquiló al tomar contacto con la atmósfera. Recuerdo un articulo periodístico donde supuestos testigos afirmaban que el objeto cambió de dirección en algún momento de su trayectoria, lo que dio pie a la idea de que podría tratarse de una nave extraterrestre en problemas. Otra hipótesis se refiere a un pequeño agujero negro... |
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Probablemente la hipótesis del agujero negro sea improbable, suena mas razonable la del meteoro (quizás un pequeño asteroide de los que abundan siguiendo orbitas muy excéntricas dentro del sistema solar) y de hecho estas son las únicas que se estudian seriamente en la actualidad, sin embargo no hay explicación para las perturbaciones geomagnéticas que se produjeron en el evento. Pero, en tren de fantasear y sin caer en el extremo de la nave espacial extraterrestre, intentaremos analizar que consecuencias tendría esta idea. En el libro "Tierra" de David Brin se cuenta la historia de un científico que crea un pequeño agujero negro con el objeto de generar energía limpia. En un giro bastante "frankensteiniano" la cosa se escapa cayendo al interior del planeta donde comienza a crecer devorándolo alegremente por dentro. El científico, ansioso por destruirlo, logra detectarlo, y consternado comprueba que el desalmado engendro se dedica a realizar tranquilas órbitas alrededor del núcleo de la Tierra zampándose todo lo que encuentra en su camino. El giro dramático ocurre cuando el nuevo doctor Frankenstein se percata de que no hay solo un agujero negro sino ¡dos!. ¿De donde proviene el otro?, ¿no lo adivinan?. ¡Claro!, es el famoso objeto caído en Tunguska. A partir de este punto el libro se llena de láseres de ondas gravitatorias, malignos seres extraterrestres y súper-conciencias ecológicas. Lo recomiendo sinceramente, es muy entretenido. ¿Podría existir un agujero negro en el interior de la Tierra sin que estemos enterados?, o bien, si el objeto del evento Tunguska fue realmente un agujero negro, ¿pudo quedar atrapado dentro de la Tierra? y además ¿qué puede estar haciendo ahí?. No hay respuestas fáciles a estas preguntas. Un agujero negro suficientemente pequeño seguramente consumiría materia también en pequeñas cantidades de modo que inicialmente podría existir en el interior del planeta sin ser notado. Pero crecería en forma constante aumentando así su campo de gravedad. A la larga causaría inestabilidades en la corteza provocando terremotos y catástrofes. Por último terminaría devorando al planeta completo, es difícil decir cuando, quedando solo el agujero negro y probablemente un disco de acreción a su alrededor (restos del banquete). Es posible que según la dirección y velocidad del impacto el agujero negro quedara atrapado en el interior del planeta. Según el libro de Brin, describiría órbitas elípticas alrededor del núcleo terrestre tal como un planeta alrededor del Sol. Esta idea es correcta. El - del objeto, con hipótesis razonables, se puede hacer y da como resultado órbitas elípticas para un objeto dentro del campo de gravedad interno de la Tierra (ver Agujeros negros orbitando dentro de la Tierra). Solo quedaría una pregunta final, si lo improbable resulta ser cierto ¿cuanto tiempo nos queda?. |
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| La velocidad de escape es la mínima velocidad con la que debe partir un objeto desde la superficie de un planeta para alcanzar una distancia infinita de su superficie con velocidad final cero y sin tener otro impulso que esa velocidad inicial (estando, por supuesto, en todo momento bajo los efectos de la atracción gravitatoria de dicho planeta). Esta sería la definición formal, en términos mas simples es la velocidad mínima que debe tener un objeto para escapar de la atracción del planeta. ¿Como se calcula?. Sabemos que la aceleración de la gravedad para un objeto fuera de un planeta toma la forma: |
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(1) |
| donde G es la constante de gravitación universal (6.67x 10-11 m3/kg seg2), M es la masa del planeta y r es la distancia entre el centro del planeta y objeto. Esta es la ecuación de movimiento para un objeto cualquiera sometido a la acción de la gravedad. Es fácil ver que la aceleración se puede escribir | |
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(2) |
| siendo v la velocidad, con lo cual la ecuación (1) queda | |
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(3) |
| Ahora integramos ambos lados de la igualdad con los límites de integración dados por la definición, es decir, los límites del miembro izquierdo serán el radio del planeta y el infinito, y los del miembro derecho, la velocidad de escape y cero | |
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(4) |
| y así obtenemos | |
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(5) |
| De esta última ecuación se puede despejar la velocidad de escape | |
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(6) |
| La fórmula (6) permite calcular la velocidad de escape de cualquier planeta o estrella conociendo el radio y la masa. Por ejemplo, el radio del planeta Tierra es R = 6378 km y su masa M = 5.972 x 1024 kg entonces | |
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| que es, por supuesto, la ya conocida velocidad de escape de la Tierra. Sin embargo nuestro objetivo es otro, lo que pretendemos es calcular el radio de Schwarzschild para un cuerpo celeste cualquiera. Nuevamente a partir de la ecuación (6) esto es muy sencillo. Simplemente impondrémos que la velocidad de escape sea igual a la velocidad de la luz c y despejarémos R. Obtenémos entonces la formula buscada | |
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(7) |
| Es curioso que esta fórmula siendo no relativista (es decir que no empleamos la teoría de relatividad para llegar a ella) nos permita obtener los radios de horizontes de eventos para agujeros negros con bastante buena aproximación conociendo la masa de la estrella implicada. Por ejemplo, ¿cual sería el radio de Schwarzschild de una estrella con masa tres veces mayor que la del Sol?. La masa del Sol es aproximadamente 2 x 1030 Kg, entonces supongamos una estrella de masa 6 x 1030 kg, reemplazando este dato en (7) obtenémos | |
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(8) |
| que es un valor muy cercano al radio que parece tener el horizonte de eventos de un agujero negro. | |
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Un agujero negro choca contra la Tierra desapareciendo en su interior, ¿que hará allí?. Trataremos de responder esa pregunta. Para calcular la trayectoria de una partícula cualquiera es necesario conocer las fuerzas que actúan sobre ella. ¿Cuales son la fuerzas que actuarían sobre el agujero negro en el interior de nuestro planeta?. Bueno, obviamente la gravedad es la fuerza principal. Es conocido que la intensidad de la fuerza de gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia al centro del planeta pero esto solo ocurre cuando la partícula se halla fuera de él. Si una partícula se encuentra en el interior la expresión de esta fuerza cambia drásticamente pasando a ser directamente proporcional a la distancia al centro (esto se debe a que solo depende de la masa "debajo" de la partícula). La otra fuerza de importancia es el rozamiento o fricción de la partícula con la materia que la rodea. Esta fuerza puede adoptar formas diferentes dependiendo de las substancias involucradas, sus densidades y la forma de los objetos que rozan pero cuando no se tiene tanta información una manera razonable de aproximarla es suponerla proporcional a la velocidad de la partícula. Además hay que considerar que la Tierra rota y dicha rotación afecta a la partícula en su interior. La forma mas sencilla de tratar con este efecto es considerando a la Tierra como un sistema no inercial de modo que los efectos de la rotación se traducen en fuerzas inerciales (fuerza centrífuga y fuerza de Coriolis). |
| Es evidente que la masa del agujero negro aumentará durante su estadía por dedicarse a "comer toda la materia que encuentra", curiosamente esto no afecta al movimiento, las fuerzas de gravedad e inerciales no dependen de la masa del objeto al menos hasta que su tamaño y campo de gravedad produzcan inestabilidades en el planeta mismo (claro que el aumento de tamaño puede afectar el rozamiento). Por último debe existir multitud de otros efectos tales como interacciones del agujero negro con el campo magnético terrestre (tenga en cuenta que en algún momento atravesará la región de la dínamo) y con las corrientes producidas por la rotación del núcleo. |
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| Además existen perturbaciones en el campo gravitatorio generadas por la no homogeneidad de la Tierra que sin duda tienen una importancia enorme en la dinámica del movimiento (Figura 1). | ||
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Pero existen realidades matemáticas. La mayor parte de las fuerzas descriptas son desconocidas. Por ejemplo dudo mucho de que en la actualidad se disponga de un perfil exacto de densidades del interior de la Tierra sin mencionar los posibles campos magnéticos y corrientes del núcleo. De manera que para poder encarar un cálculo dinámico tendremos que hacer una serie de hipótesis e idealizaciones. En primer lugar considerarémos a la Tierra perfectamente esférica y homogénea (es decir su densidad será la misma en todos los puntos). Además, para el calculo inicial supondrémos que no existe rozamiento (luego discutirémos esta aproximación con mas detalle). |
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| Para hacer este cálculo adoptarémos un sistema de coordenadas cilíndrico simplemente por que es el mas conveniente dada la simetría del problema. En coordenadas cilíndricas un punto se ubica en el espacio por medio de tres números: la distancia al centro de coordenadas medida sobre el plano x-y (en nuestro caso el centro de coordenadas será el centro de la Tierra y el plano x-y el del ecuador) o radio R que por supuesto siempre es positivo, el ángulo que forma el vector radial (sobre el plano del ecuador) con el eje x o azimut j (corresponde con la longitud geográfica) y la altura Z medida desde el plano del ecuador que puede ser positiva o negativa (ver Figura 2). |
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Las ecuaciones de movimiento de una partícula se resumen en la conocida fórmula de Newton: F = m.a, donde F es la sumatoria de las fuerzas que actuan sobre dicha particula, a es la aceleracion que resulta (ambas son vectores) y m es la masa de la partícula. Esta fórmula se puede expresar tambien como: F/m = a. De manera que para escribir las ecuaciones de movimiento (una para cada coordenada) necesitarémos conocer la forma que adopta la aceleración en coordenadas cilíndricas y la expresión de las fuerzas tambien en estas coordenadas. Las componentes de la aceleración para un sistema fijo en coordenadas cilíndricas se expresan del siguiente modo: |
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(1)
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donde los puntos sobre las variables simbolizan derivadas respecto del tiempo (notación común en física: un punto corresponde a la derivada primera respecto del tiempo, dos puntos la segunda, etc.) Por otro lado la expresión de la aceleración de la gravedad en el interior de la Tierra en coordenadas cilíndricas adopta la forma: |
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(2) |
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g es la aceleración de la gravedad en la superficie de la Tierra (9.8 m/s2), RT es el radio del planeta (6378000 m) y los símbolos R^ y Z^ son los versores (vectores de longitud 1) en las direcciones R y Z. La aceleración dada por las ecuaciones (1) es la del sistema fijo, en un sistema rotante debemos considerar una aceleración a' dada por: |
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(3) |
| El primer término que aparece restando en el segundo miembro de la igualdad es la llamada aceleración centrifuga y el segundo término es la aceleración de Coriolis (multiplicadas por la masa dan las fuerzas respectivas), estas son las correcciones a la aceleración debidas a la rotación de la Tierra. La w que aparece en la fórmula simboliza el vector velocidad angular de la Tierra (que apunta en la dirección Z), v es la velocidad del objeto y el símbolo x representa el producto vectorial. La expresión de estas aceleraciones en coordenadas cilíndricas es: | |
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(4) |
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De modo que igualando las componentes de la aceleración
corregida por las fuerzas inerciales a la suma de las fuerzas (dividida
por la masa) obtenémos el sistema de ecuaciones a resolver:
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(5) |
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Este es un sistema de ecuaciones diferenciales de segundo orden
(porque hay derivadas segundas), no lineal (hay términos
al cuadrado y productos de funciones) con tres funciones del tiempo
como incognitas: R(t), j(t)
y Z(t). Los sistemas de este tipo, aún dependiendo
de una sola variable son bastante difíciles de resolver (no
siempre es posible). Lo interesante es que éste, en particular,
sí tiene solución. El primer paso para resolverlo,
no del todo necesario pero conveniente por una cuestión de
claridad, es adimensionalizar las ecuaciones. Esto lo harémos
con cambios de variable adecuados. Las nuevas variables y funciones
serán las siguientes:
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(6) |
| La función r es el radio R normalizado al radio terrestre, por lo tanto toma valores entre 0 y 1 si el objeto no sale del interior de la Tierra, z es lo mismo para la distancia "vertical", t es el tiempo medido en rotaciones de la tierra, y al ángulo j lo normalizamos para que cuente número de revoluciones. Lo interesante es que todas estas variables son adimensionales, es decir, son números sin unidades. Estos cambios no simplifican la resolución del sistema pero le dan un mejor aspecto a las ecuaciones. El nuevo sistema de ecuaciones adimensionalizado es: | |
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(7) |
| si usted es una persona sensible a la belleza seguro notará la mejora estética. El símbolo A que aparece ahora en las ecuaciones es una constante adimensional y vale: | |
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(8) |
| La solución de este problema comienza notando que la segunda ecuación en (7) es separable, esto es, se puede lograr mediante un despeje que a cada lado de la igualdad quede solo una función. Si lo hacemos así, la ecuación queda expresada del siguiente modo: | |
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| Integrando esta igualdad obtenemos: | |
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(10) |
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donde C
es una constante de integración y vale:
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(11) |
| esta constante, que puede ser positiva o negativa, depende de los valores iniciales de la velocidad azimutal y el radio, las barras verticales representan el modulo o valor absoluto. Si reemplazámos (10) en la primera ecuación de (7) obtenémos una ecuación diferencial cuya única incognita es r, esta es: | |
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(12) |
| es bastante fácil obtener una primera integral de esta ecuación que resulta ser | |
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(13) |
| siendo B una constante igual a | |
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(14) |
| dependiente de los valores iniciales del radio y velocidad radial y además de las constantes ya definidas. Con un poco de manipulación matemática (el ejercicio queda a cargo del lector... siempre quise escribir eso) la ecuación (13) se puede integrar. La expresión de la integral resultante es | |
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(15) |
| que mediante un sencillo cambio de variable se resuelve obteniendo la expresión final para el radio | |
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(16) |
| donde aparecen, por conveniencia, tres nuevas constantes definidas como | |
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(17) |
| Si, parece el festival de las constantes, pero definirlas permite escribir la solución de un modo mas elegante, ademas se puede notar que todas dependen de las constantes físicas del problema y de valores iniciales de las funciones. En la definición de la constante f, "arcsen" designa a la función inversa del seno trigonométrico. Conociendo la expresión del radio (16) podemos reemplazarla en (10) e integrar para obtener la función azimut que resulta ser | |
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(18) |
| que por suerte generó una sola constante nueva, F. En estas expresiones "tg" es la función trigonométrica tangente usual y "arctg" su función inversa llamada arcotangente. Solo queda por resolver la tercera ecuación de (7), pero esta es muy sencilla pues es la conocida ecuación del oscilador armónico cuya solución general es | |
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(19) |
| donde las definiciones de las constantes a esta altura son evidentes. Si todo está correcto la solución del sistema está dada entonces por las expresiones (16), (18) y (19) con sus constantes respectivas y por lo tanto conocemos ya el movimiento del agujero negro dentro de la Tierra. ¿Realmente ha leído hasta aqui?, es usted una persona admirable, lo que sigue es mas entretenido porque vamos a ver que significa esta solución. | |
| El modo mas sencillo de entender que significa este formuleo es mediante gráficos. En la Figura 3 podemos ver la trayectoria del agujero negro para determinadas condiciones iniciales. Estas condiciones fueron elegidas para que las orbitas se mantuvieran en el interior de la Tierra. En realidad el rango en donde esto se cumple es bastante restringido, para la gran mayoría de las condiciones iniciales el agujero entra y sale de la Tierra o la atraviesa perdiendose en el espacio. Podemos apreciar en la figura que el objeto describe una trayectoria con forma de roseta que en realidad corresponde a elipses cuyos ejes poseen movimiento de preseción (es decir, rotan) debido a la rotación de la Tierra. El plano de estas elipses es dependiente de los valores iniciales de Z y de la velocidad vertical. |
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Además, según que condiciones iniciales elijamos, estas elipses pueden ser menos excentricas hasta convertirse en orbitas circulares. Por desgracia este análisis es bastante poco realista. Note que los valores iniciales de la posición fueron elegidos para que el agujero negro parta del interior del planeta aunque lo que esperaríamos es que provenga del exterior. Si hubiéramos elegido valores iniciales en el exterior, el objeto seguiría el mismo tipo de órbita pero atravezando una y otra vez la superficie. Para que esto no ocurra (suponemos que no ocurre, pero podría ocurrir) debe haber una forma de disipar energía, es decir, debe existir una fuerza de rozamiento. Vamos a considerar una fuerza de rozamiento del tipo F = -lv, donde l es el llamado coeficiente de rozamiento y v es la velocidad del objeto. ¿Por que elegirla así?, simplemente por que no sabemos cual es su forma real (de hecho ni siquiera sabemos si hay o no rozamiento) y esta es la forma típica del rozamiento de, por ejemplo, una esfera moviendose a traves de un fluído y, aunque no lo parezca, éste podría ser un caso similar. Lo que vamos a hacer ahora es adaptar las ecuaciones (7) para el caso de tener rozamiento y resolverlas. Para lograrlo es necesario escribir el vector velocidad en coordenadas cilíndricas, pero esto es sencillo ya que es |
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(20) | |
| de manera que las ecuaciones equivalentes a (7), esta vez con rozamiento son | ||
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(21) | |
| donde el coeficiente de rozamiento ha sido normalizado. Lo que vamos a hacer es repetir el procedimiento anterior, la segunda ecuación de (21) sigue siendo separable, pero esta vez queda del siguiente modo | ||
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(22) | |
| para integrar esta ecuación es necesario dividir el miembro izquierdo. Si lo hacemos la ecuación queda | ||
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(23) | |
| que integrada se convierte en | ||
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(24) | |
| donde ln es el símbolo del logaritmo natural. La integral que queda expresada no se puede resolver si no conocemos la función de velocidad azimutal (que yo sepa al menos), es una función de t y la llamaremos K(t) | ||
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(25) | |
| si aplicamos la función exponencial a ambos miembros de la igualdad obtenémos | ||
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(26) | |
| hasta ahora solo repetimos con un poco mas de detalle los pasos necesarios para llegar a (10), pero para continuar tendremos que hacer una suposición. Vamos a suponer que K(t) es muy cercana a cero, o al menos que K(t) << t, no sabemos si esto es cierto, solo lo asumimos para poder seguir con el cálculo, en realidad el único modo de verificarlo es resolviendo numéricamente la integral, quizas algún día lo haga. Con esta suposición es fácil despejar y llegamos a | ||
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(27) | |
| donde la constante C es igual que en (11). Esta es la ecuación equivalente a (10) con rozamiento, es tranquilizador que la diferencia resida en una exponencial con exponente negativo pues es la forma típica del efecto del rozamiento en un sistema dinámico clásico. Reemplazando (27) en la primera ecuación de (21) obtenémos | ||
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(28) | |
| esta ecuación no es tan sencilla como (12) ya que depende explicitamente de t e incluye a la derivada primera del radio. Sin embargo si considerámos que r tiene una dependencia del siguiente tipo | ||
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(29) | |
| donde L tambien es una función de t, al reemplazar en (28) la ecuación (ahora para L) queda | ||
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(30) | |
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¡que es idéntica a la ecuación (12)! sólo cambia la constante... y esto es un problema, ¿por que?, ocurre que A era una constante real positiva, pero del modo en que está definida A' ésta puede ser real y positiva, imaginaria o aún cero. Esto implica que hay por lo menos tres familias distintas de soluciones para esta ecuación. Estudiaremos todas (valor, no falta tanto como parece). Primero vamos a suponer que A2 > l'2/4 lo que equivale a l < 0.0025. Si este es el caso, en realidad (30) es identica a (12), además es interesante que como A es una frecuencia tambien los es A', entonces en el caso con rozamiento la frecuencia disminuye lo que es tambien una característica clásica de estas fuerzas. La solución para L es entonces igual a (16) con solo cambiar en las respectivas constantes A por A' |
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(31) | |
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y por lo tanto, considerando (29) |
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(32) | |
| en resumen, el radio varía de modo similar que en el caso sin rozamiento pero con una frecuencia menor y con la amplitud modulada por una función decreciente (la exponencial de exponente negativo). Si reemplazamos (32) en (27) para obtener el azimut las exponenciales se cancelan por lo que la solución será identica al caso sin rozamiento (salvo las constantes) | ||
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(33) | |
| La ecuación para Z es la de un oscilador amortiguado, que para la relación entre A y l que estamos considerando tiene como solución | ||
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(34) | |
| En la figura 4 podemos apreciar el resultado. En este caso el radio inicial es igual al radio terrestre, es decir que el objeto puede provenir del exterior. Lo que se observa en esta figura casos a) y b), para un valor relativamente bajo de coeficiente de rozamiento y velocidad angular son orbitas elipticas que van disminuyendo su radio hasta terminar en el centro. Mientras que en los casos c) y d) con un coeficiente diez veces mas alto y una mas baja velocidad angular vemos una lenta espiral que termina nuevamente en el centro de la Tierra. Por supuesto, para otras condiciones iniciales (mas altas velocidades angulares) el objeto puede seguir entrando y saliendo por la superficie, pero parece ser inevitable que la perdida de energía causada por el rozamiento termine confinandolo en el centro. | ||
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| Ahora supongamos que A' = 0. Esto implica que l = 0.0025 exactamente, cosa seguramente improbable pero que hay que considerar. En este caso las ecuaciones se simplifican bastante ya que (30) pierde el término de A'. La solución para L (sencilla de integrar) es | ||
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(35) | |
| donde otra vez para obtener el radio multiplicamos L por la exponencial negativa como en (29). El azimut queda expresado como | ||
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(36) | |
| La solución para Z es simple tambien | ||
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(37) | |
| El gráfico correspondiente a esta condición lo vemos en la figura 5 | ||
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| En este caso lo que observamos es una muy rápida trayectoria que converge al centro de la Tierra con mínima desviación. Valores mas altos de la velocidad angular solo aumentan el grado de desviación pero no modifican la trayectoria en lo esencial. | ||
| Por último supongamos l > 0.0025. En este caso podemos reescribir (30) con un cambio de signo convirtiendola en | ||
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(38) | |
| aunque esto parezca poca cosa nos cambia completamente el tipo de solución que vamos a obtener pero, por suerte, no hace mas difícil obtenerla. El radio en este caso resulta ser | ||
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(39) | |
| con las constantes cambiadas como aparece en (39). La función cosh es el coseno hiperbolico y argcosh su función inversa, es decir el argumento del coseno hiperbolico. La función azimut cambia significativamente tambien | ||
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(40) | |
| En este caso tgh es la función tangente hiperbolica. Por último la fórmula para z es | ||
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(41) | |
| donde las constantes son identicas que en (34), salvo por A' y senh es, por supuesto, la función seno hiperbolico. El gráfico de la trayectoria es el de la figura 6. | ||
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| El resultado es bastante similar al caso anterior. Es razonable pensar que, de existir rozamiento su valor no debería ser demasiado alto, de modo que probablemente el primer caso sea el mas realista. Por supuesto, como mencionamos al principio, éste no es un análisis completo de la situación de un agujero negro dentro de la Tierra. Los cálculos realizados con rozamiento son solo una aproximación, un poco mejor que la inicial, del movimiento real. Según nuestros resultados el agujero negro terminaría, tarde o temprano, confinado en el centro de la Tierra. Es posible que ocurra esto, pero no es inconcebible la existencia de algún tipo de interacción entre el objeto y las corrientes del núcleo. No conocemos como podría ser esta interacción pero de ella podría resultar algún impulso extra sobre el movimiento del objeto, que modificaría la órbita y eventualmente le permitiría continuar moviendose. Otra cuestión es que el coeficiente de rozamiento no es constante en lo absoluto. Probablemente sea alguna función complicada de la posición, es decir, variará punto a punto durante el desplazamiento. De todos modos esto es lo mejor que se puede hacer con herramientas analíticas, el paso siguiente sería encarar una solución numérica, pero, no se preocupe, nosotros terminamos aca. | ||
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